Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm min của: $14(a^2+b^2+c^2)+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
cvp

cvp

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 400 Bài viết
Cho 3 số thực dương $a;b;c$ thoả mãn $a+b+c=1$.Tìm min của:
$P=14(a^2+b^2+c^2)+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cvp: 14-10-2012 - 14:17

Hình đã gửi


#2
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
BĐT $a^2b+b^2c+c^2a \le \frac{1}{9}$ sai đó bạn.Thử với $a=0,01;b=0,8;c=0,19$ :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 14-10-2012 - 15:09

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#3
BoBoiBoy

BoBoiBoy

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết

Cho 3 số thực dương $a;b;c$ thoả mãn $a+b+c=1$.Tìm min của:
$P=14(a^2+b^2+c^2)+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$

Ta có:
$$a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\ge 0$$
$$\Rightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\ge 3(a^2b+b^2c+c^2a)$$.
Do đó:
$$P\ge 14(a^2+b^2+c^2)+\frac{3(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}$$
$$= 14(a^2+b^2+c^2)+\frac{3(\frac{1-(a^2+b^2+c^2)}{2})}{a^2+b^2+c^2}$$
(do $(a+b+c)^2=1$)
$$= 14(a^2+b^2+c^2)+\frac{3}{2(a^2+b^2+c^2)}-\frac{3}{2}$$
$$= \frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+\left [\frac{27}{2}(a^2+b^2+c^2)+\frac{3}{2(a^2+b^2+c^2)} \right ]-\frac{3}{2}$$
$$\ge \frac{1}{2}\frac{(a+b+c)^2}{3}+9-\frac{3}{2}=\frac{23}{3}$$
Vậy Min P=$\frac{23}{3}$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$.
Hình đã gửi




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh