Chủ đề này có 10 trả lời

[Ispectorgadget]

Tính tổng $S_k(n)=1^k+2^k+...+n^k$ với $k=1,2,3$

[nthoangcute]

Tính tổng $S_k(n)=1^k+2^k+...+n^k$ với $k=1,2,3$

Tham khảo ở đây: http://diendantoanho...n-12-n2/<br />__________________________________________

Áp dụng ta được:
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{3}=\dfrac{1}{4}\,{n}^{2} \left( n+1 \right) ^{2}$
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{4}=\dfrac{1}{30}\,n \left( n+1 \right) \left( 2\,n+1 \right) \left( 3\,{n}^{2}+3
\,n-1 \right) $
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{5}=1/12\,{n}^{2} \left( 2\,{n}^{2}+2\,n-1 \right) \left( n+1 \right) ^{2
}
$
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{6}=1/42\,n \left( n+1 \right) \left( 2\,n+1 \right) \left( 3\,{n}^{4}+6
\,{n}^{3}-3\,n+1 \right)

$
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{7}=1/24\,{n}^{2} \left( 3\,{n}^{4}+6\,{n}^{3}-{n}^{2}-4\,n+2 \right)
\left( n+1 \right) ^{2}
$
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{8}={\frac {1}{90}}\,n \left( n+1 \right) \left( 2\,n+1 \right) \left( 5
\,{n}^{6}+15\,{n}^{5}+5\,{n}^{4}-15\,{n}^{3}-{n}^{2}+9\,n-3 \right)
$
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{9}=1/20\,{n}^{2} \left( {n}^{2}+n-1 \right) \left( 2\,{n}^{4}+4\,{n}^{3}
-{n}^{2}-3\,n+3 \right) \left( n+1 \right) ^{2}
$
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{10}={\frac {1}{66}}\,n \left( n+1 \right) \left( 2\,n+1 \right) \left( {
n}^{2}+n-1 \right) \left( 3\,{n}^{6}+9\,{n}^{5}+2\,{n}^{4}-11\,{n}^{3
}+3\,{n}^{2}+10\,n-5 \right)
$

[E. Galois]

Ta sẽ chứng minh:
$$1^k+2^k+...+n^k=\sum_{i=0}^{k-1}A_{k}^{k-i}C_{n+1}^{k-i+1}- A_k^{k-1}C_{n+1}^{k}+\frac{1}{2}A^2_{n+1} \ \ \ \ (1)$$

bằng phương pháp đếm bằng hai cách.

Bài toán:
Từ tập các số nguyên dương $A=\left \{ 1,2,...,n+1 \right \}$, ta chọn ra bộ sắp thứ tự $\left ( x_1,x_2,...,x_{k+1} \right )$ thỏa mãn điều kiện:
$$x_{k+1}>max\left \{ x_1,x_2,...,x_k \right \}$$.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn

Cách 1:
Ứng với mỗi $x_{k+1}=i+1, ( 1 \leq i \leq n)$, ta có $i$ các chọn $x_1$, $i$ cách chọn $x_2$, ..., $i$ cách chọn $x_k$. Do đó, số các cách chọn là:
$$S = 1^k+2^k+...+n^k$$

Cách 2:
Ta sẽ chọn ra $k+1$ số từ $n+1$ số, số lớn nhất, ta chọn làm $x_{k+1}$, các số còn lại, ta sếp thứ tự là xong.
Gọi $i (0 \leq i \leq k-1)$ là số các phần tử bằng nhau trong nhóm $x_1,x_2,...,x_k$. (Tạm chấp nhận khái niệm "$1$ phần tử bằng nhau", lát nữa ta bỏ nó đi)
Chọn $k-i+1$ số khác nhau từ $n+1$ số, ta có $C_{n+1}^{k-i+1}$ cách.
Xếp thứ tự $k-i$ số khác nhau vào $k$ chỗ trống (các chỗ trống còn lại, hiển nhiên dành cho $i$ số bằng nhau), ta có $A_{k}^{k-i}$ cách.

Từ đó, với mỗi $i, (0 \leq i \leq k-1)$, ta có: $A_{k}^{k-i}C_{n+1}^{k-i+1}$ cách.

Riêng trường hợp có $k$ phần tử bằng nhau, ta có $\frac{1}{2}A^2_{n+1}$ cách.

Do không có khái niệm "$1$ phần tử bằng nhau", nên ta có tổng số cách chọn là:

$$S = \sum_{i=0}^{k-1}A_{k}^{k-i}C_{n+1}^{k-i+1}- A_k^{k-1}C_{n+1}^{k}+\frac{1}{2}A^2_{n+1}$$

 

Do đó ta có điều phải chứng minh.

Giờ ta áp dụng công thức $(1)$
- Với $k=2$, ta có:
$$1^2+2^2+...+n^2=\sum_{i=0}^{1}A_{2}^{2-i}C_{n+1}^{3-i} = A_2^2C_{n+1}^3+ A_2^1.C_{n+1}^2 - A_2^1.C_{n+1}^2 + \frac{1}{2}A^2_{n+1}= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

[Crystal]

Tham khảo đáp án.

File gửi kèm

•  Solution.pdf   32.48K   873 Số lần tải

[Joker9999]

Ta sẽ chứng minh:
$$1^k+2^k+...+n^k=\sum_{i=0}^{k-1}A_{k}^{k-i}C_{n+1}^{k-i+1} \ \ \ \ (1)$$


Giờ ta áp dụng công thức $(1)$
- Với $k=2$, ta có:
$$1^2+2^2+...+n^2=\sum_{i=0}^{1}A_{2}^{2-i}C_{n+1}^{3-i} = A_2^2C_{n+1}^3+ A_2^1.C_{n+1}^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$$

Em seảrch thấy CT  này và có điều muốn hỏi mọi người ạ. 

Em thay k=2, n=4 vào CT thấy sai, và em không hiểu: $$1^2+2^2+...+n^2=\sum_{i=0}^{1}A_{2}^{2-i}C_{n+1}^{3-i} = A_2^2C_{n+1}^3+ A_2^1.C_{n+1}^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$$

sao lại biến thành thế này. Có thể lấy VD vs k=2,n=4 hoặc phân tích tay em thấy chưa đúng.

_________________

Không biết em đúng hay nhầm lẫn gì mong mọi người chỉ giáo.

[E. Galois]

Khi $n=4;k=2$ thì $VT=VP=30$ mà

[Joker9999]

Khi $n=4;k=2$ thì $VT=VP=30$ mà

Dạ thưa thầy:

khi $n=4;k=2$ thì VT = $2.10 + 2.10= 40$ mà ạ. A(2,2) =2, C(3,5)=10, A(1,2)=2, C(2,5)=10.

[E. Galois]

Dạ thưa thầy:

khi $n=4;k=2$ thì VT = $2.10 + 2.10= 40$ mà ạ. A(2,2) =2, C(3,5)=10, A(1,2)=2, C(2,5)=10.

Cảm ơn em!

Lập luận của thầy có 1 lỗ hổng, thầy đang tìm cách sửa...

[Joker9999]

Ta sẽ chứng minh:
$$1^k+2^k+...+n^k=\sum_{i=0}^{k-1}A_{k}^{k-i}C_{n+1}^{k-i+1}- A_k^{k-1}C_{n+1}^{k}+\frac{1}{2}A^2_{n+1} \ \ \ \ (1)$$

 

Hi em lại có một chút thắc mắc  

Khi em thay $n=4, k=3$ vào thì $VT=100$ còn $VP =A_3^3C_5^4 + A_3^2C^3_5+A_3^1C_5^2-A^2_3C^3_5+\frac{n(n+1)}{2}=30+20+30=70$

Không biết em có nhầm lẫn gì ko :-s

[E. Galois]

Hi em lại có một chút thắc mắc

Khi em thay $n=4, k=3$ vào thì $VT=100$ còn $VP =A_3^3C_5^4 + A_3^2C^3_5+A_3^1C_5^2-A^2_3C^3_5+\frac{n(n+1)}{2}=30+20+30=70$

Không biết em có nhầm lẫn gì ko :-s

Thì đẳng thức đó vẫn sai mà, sai ở chỗ, thiếu trường hợp có $m$ bộ, mỗi bộ có $p$ số bằng nhau thì sao?

[toansocaplqd]

Thầy có thể nói rõ cho em về cách tính bài toán tổng quát được không thầy ?.