Tính tổng $S_k(n)=1^k+2^k+...+n^k$ với $k=1,2,3$
#1
Đã gửi 14-10-2012 - 16:37
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#2
Đã gửi 14-10-2012 - 16:40
Tham khảo ở đây: http://diendantoanho...n-12-n2/<br />__________________________________________Tính tổng $S_k(n)=1^k+2^k+...+n^k$ với $k=1,2,3$
Áp dụng ta được:
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{3}=\dfrac{1}{4}\,{n}^{2} \left( n+1 \right) ^{2}$
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{4}=\dfrac{1}{30}\,n \left( n+1 \right) \left( 2\,n+1 \right) \left( 3\,{n}^{2}+3
\,n-1 \right) $
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{5}=1/12\,{n}^{2} \left( 2\,{n}^{2}+2\,n-1 \right) \left( n+1 \right) ^{2
}
$
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{6}=1/42\,n \left( n+1 \right) \left( 2\,n+1 \right) \left( 3\,{n}^{4}+6
\,{n}^{3}-3\,n+1 \right)
$
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{7}=1/24\,{n}^{2} \left( 3\,{n}^{4}+6\,{n}^{3}-{n}^{2}-4\,n+2 \right)
\left( n+1 \right) ^{2}
$
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{8}={\frac {1}{90}}\,n \left( n+1 \right) \left( 2\,n+1 \right) \left( 5
\,{n}^{6}+15\,{n}^{5}+5\,{n}^{4}-15\,{n}^{3}-{n}^{2}+9\,n-3 \right)
$
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{9}=1/20\,{n}^{2} \left( {n}^{2}+n-1 \right) \left( 2\,{n}^{4}+4\,{n}^{3}
-{n}^{2}-3\,n+3 \right) \left( n+1 \right) ^{2}
$
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{10}={\frac {1}{66}}\,n \left( n+1 \right) \left( 2\,n+1 \right) \left( {
n}^{2}+n-1 \right) \left( 3\,{n}^{6}+9\,{n}^{5}+2\,{n}^{4}-11\,{n}^{3
}+3\,{n}^{2}+10\,n-5 \right)
$
- caybutbixanh yêu thích
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#3
Đã gửi 30-10-2012 - 11:24
Ta sẽ chứng minh:
$$1^k+2^k+...+n^k=\sum_{i=0}^{k-1}A_{k}^{k-i}C_{n+1}^{k-i+1}- A_k^{k-1}C_{n+1}^{k}+\frac{1}{2}A^2_{n+1} \ \ \ \ (1)$$
bằng phương pháp đếm bằng hai cách.
Bài toán:
Từ tập các số nguyên dương $A=\left \{ 1,2,...,n+1 \right \}$, ta chọn ra bộ sắp thứ tự $\left ( x_1,x_2,...,x_{k+1} \right )$ thỏa mãn điều kiện:
$$x_{k+1}>max\left \{ x_1,x_2,...,x_k \right \}$$.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn
Cách 1:
Ứng với mỗi $x_{k+1}=i+1, ( 1 \leq i \leq n)$, ta có $i$ các chọn $x_1$, $i$ cách chọn $x_2$, ..., $i$ cách chọn $x_k$. Do đó, số các cách chọn là:
$$S = 1^k+2^k+...+n^k$$
Cách 2:
Ta sẽ chọn ra $k+1$ số từ $n+1$ số, số lớn nhất, ta chọn làm $x_{k+1}$, các số còn lại, ta sếp thứ tự là xong.
Gọi $i (0 \leq i \leq k-1)$ là số các phần tử bằng nhau trong nhóm $x_1,x_2,...,x_k$. (Tạm chấp nhận khái niệm "$1$ phần tử bằng nhau", lát nữa ta bỏ nó đi)
Chọn $k-i+1$ số khác nhau từ $n+1$ số, ta có $C_{n+1}^{k-i+1}$ cách.
Xếp thứ tự $k-i$ số khác nhau vào $k$ chỗ trống (các chỗ trống còn lại, hiển nhiên dành cho $i$ số bằng nhau), ta có $A_{k}^{k-i}$ cách.
Từ đó, với mỗi $i, (0 \leq i \leq k-1)$, ta có: $A_{k}^{k-i}C_{n+1}^{k-i+1}$ cách.
Riêng trường hợp có $k$ phần tử bằng nhau, ta có $\frac{1}{2}A^2_{n+1}$ cách.
Do không có khái niệm "$1$ phần tử bằng nhau", nên ta có tổng số cách chọn là:
$$S = \sum_{i=0}^{k-1}A_{k}^{k-i}C_{n+1}^{k-i+1}- A_k^{k-1}C_{n+1}^{k}+\frac{1}{2}A^2_{n+1}$$
Do đó ta có điều phải chứng minh.
Giờ ta áp dụng công thức $(1)$
- Với $k=2$, ta có:
$$1^2+2^2+...+n^2=\sum_{i=0}^{1}A_{2}^{2-i}C_{n+1}^{3-i} = A_2^2C_{n+1}^3+ A_2^1.C_{n+1}^2 - A_2^1.C_{n+1}^2 + \frac{1}{2}A^2_{n+1}= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
- perfectstrong, hxthanh, funcalys và 9 người khác yêu thích
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#4
Đã gửi 30-10-2012 - 12:33
File gửi kèm
#5
Đã gửi 07-07-2013 - 16:46
Ta sẽ chứng minh:
$$1^k+2^k+...+n^k=\sum_{i=0}^{k-1}A_{k}^{k-i}C_{n+1}^{k-i+1} \ \ \ \ (1)$$
Giờ ta áp dụng công thức $(1)$
- Với $k=2$, ta có:
$$1^2+2^2+...+n^2=\sum_{i=0}^{1}A_{2}^{2-i}C_{n+1}^{3-i} = A_2^2C_{n+1}^3+ A_2^1.C_{n+1}^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$$
Em seảrch thấy CT này và có điều muốn hỏi mọi người ạ.
Em thay k=2, n=4 vào CT thấy sai, và em không hiểu: $$1^2+2^2+...+n^2=\sum_{i=0}^{1}A_{2}^{2-i}C_{n+1}^{3-i} = A_2^2C_{n+1}^3+ A_2^1.C_{n+1}^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$$
sao lại biến thành thế này. Có thể lấy VD vs k=2,n=4 hoặc phân tích tay em thấy chưa đúng.
_________________
Không biết em đúng hay nhầm lẫn gì mong mọi người chỉ giáo.
- E. Galois yêu thích
<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.
.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.
#6
Đã gửi 07-07-2013 - 17:08
Khi $n=4;k=2$ thì $VT=VP=30$ mà
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#7
Đã gửi 07-07-2013 - 20:59
Khi $n=4;k=2$ thì $VT=VP=30$ mà
Dạ thưa thầy:
khi $n=4;k=2$ thì VT = $2.10 + 2.10= 40$ mà ạ. A(2,2) =2, C(3,5)=10, A(1,2)=2, C(2,5)=10.
- E. Galois yêu thích
<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.
.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.
#8
Đã gửi 08-07-2013 - 00:20
Dạ thưa thầy:
khi $n=4;k=2$ thì VT = $2.10 + 2.10= 40$ mà ạ. A(2,2) =2, C(3,5)=10, A(1,2)=2, C(2,5)=10.
Cảm ơn em!
Lập luận của thầy có 1 lỗ hổng, thầy đang tìm cách sửa...
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#9
Đã gửi 08-07-2013 - 15:30
Ta sẽ chứng minh:
$$1^k+2^k+...+n^k=\sum_{i=0}^{k-1}A_{k}^{k-i}C_{n+1}^{k-i+1}- A_k^{k-1}C_{n+1}^{k}+\frac{1}{2}A^2_{n+1} \ \ \ \ (1)$$
Hi em lại có một chút thắc mắc
Khi em thay $n=4, k=3$ vào thì $VT=100$ còn $VP =A_3^3C_5^4 + A_3^2C^3_5+A_3^1C_5^2-A^2_3C^3_5+\frac{n(n+1)}{2}=30+20+30=70$
Không biết em có nhầm lẫn gì ko :-s
<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.
.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.
#10
Đã gửi 08-07-2013 - 16:44
Hi em lại có một chút thắc mắc
Khi em thay $n=4, k=3$ vào thì $VT=100$ còn $VP =A_3^3C_5^4 + A_3^2C^3_5+A_3^1C_5^2-A^2_3C^3_5+\frac{n(n+1)}{2}=30+20+30=70$
Không biết em có nhầm lẫn gì ko :-s
Thì đẳng thức đó vẫn sai mà, sai ở chỗ, thiếu trường hợp có $m$ bộ, mỗi bộ có $p$ số bằng nhau thì sao?
- Joker9999 yêu thích
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh