Bài 6: Tìm đa thức $P(x)$, biết P(x) chia cho $x-1$ thì dư $5$, chia cho $x-2$ thì dư $7$, chia cho $x-3$ thì dư $10$, chia cho $x+2$ thì dư $-4$. Tìm đa thức dư khi chia $P(x)$ cho $(x-1)(x-2)(x-3)(x+2)$
(Đề thi Casio tỉnh Hà Tĩnh năm 2010-2011)
Theo đề ra, ta có:
$P(x)=(x-1).A(x)+5$
$P(x)=(x-2).B(x)+7$
$P(x)=(x-3).C(x)+10$
$P(x)=(x+2).D(x)-4$
Đa thức dư khi chia $P(x)$ cho $(x-1)(x-2)(x-3)(x+2)$ có dạng $ax^3+bx^2+cx+d$.
Gọi đa thức thương là $Q(x),$ ta có:
$P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x+2).Q(x)+ax^3+bx^2+cx+d$
Ta có:
$P(1)=a+b+c+d=5$ $(1)$
$P(2)=8a+4b+2c+d=7$ $(2)$
$P(-2)=-8a+4b-2c+d=-4$ $(3)$
$P(3)=27a+9b+3c+d=10$ $(4)$
Từ $(1)$ và $(2)$, ta có: $7a+3b+c=2$
Từ $(3)$ và $(4)$, ta có: $35a+5b+5c=14$
Từ $(2)$ và $(2)$, ta có: $19a+5b+c=3$
Giải trên máy, ta được: $a=\frac{3}{20};$ $b=\frac{-2}{5};$ $c=\frac{43}{20}.$
Từ đó, ta có: $d=\frac{31}{10}.$
Vậy đa thức dư khi chia $P(x)$ cho $(x-1)(x-2)(x-3)(x+2)$ là $\frac{3}{20}x^3-\frac{2}{5}x^2+\frac{43}{20}x+\frac{31}{10}.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 11-12-2012 - 21:45