Chủ đề này có 5 trả lời

[Crystal]

Đề thi chọn HSG tỉnh Sơn La vòng 1 năm học 2012-2013

Ngày thi: 15/10/2012

Thời gian làm bài 180'

Câu 1: Giải bất phương trình: $\cos (\pi(x^2-10x)) - \sqrt{3}\sin(\pi(x^2-10x)) \ge 1$

Câu 2:
a, Chứng minh rằng: Nếu $\alpha, \beta, \gamma$ là các góc phẳng của một góc tam diện và $C$ là góc nhị diện với góc phẳng $\alpha$ thì $$\cos \alpha =\cos \beta \cos \gamma + \sin \beta \sin \gamma \cos C$$
b, Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có các cạnh bằng nhau và bằng $AC'$, góc tam diện đỉnh $A$ đều. Tính số đo góc phẳng của góc tam diện đỉnh $A$ của hình hộp.

Câu 3: Không dùng phương pháp nghiệm kép, hãy viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số $y= x^4-2x^3-2x^2+\frac{5}{4}$ tại hai điểm phân biệt.

Câu 4:
Cho dãy số $\{u_n\}$ được xác định bởi: $u_1=2;\,\,\,u_{n+1}=1+\dfrac{1}{u_n}$

Gọi $p$ là số lẻ, $q$ là số chẵn bất kì, chứng minh rằng $u_p>u_q$.

Câu 5:
Cho tam giác $ABC$. Điểm $M$ nằm trong tam giác. Lần lượt gọi $x,y,z$ là độ cao tương ứng hạ từ $M$ xuống các cạnh $BC,AC,AB$.
Chứng minh rằng:
$$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le \sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2R}}$$

[Crystal]

Câu 5:
Cho tam giác $ABC$. Điểm $M$ nằm trong tam giác. Lần lượt gọi $x,y,z$ là độ cao tương ứng hạ từ $M$ xuống các cạnh $BC,AC,AB$.
Chứng minh rằng:
$$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le \sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2R}}$$

Bài này cho thiếu dữ kiện của $R$: bán knh đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Lời giải.

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:
$$\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z = \dfrac{1}{{\sqrt a }}\sqrt {ax} + \dfrac{1}{{\sqrt b }}\sqrt {by} + \dfrac{1}{{\sqrt c }}\sqrt {cz} \le $$
$$ \le \sqrt {\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\left( {ax + by + cz} \right)} = \sqrt {\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)2S} = \sqrt {\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\dfrac{{abc}}{{2R}}} $$
$$ = \sqrt {\dfrac{{ab + bc + ca}}{{2R}}} \le \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2R}}} $$
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y = z\\
a = b = c
\end{array} \right.$

Có thể giải theo cách khác.

Xem thêm ở đây.

[Crystal]

Câu 1: Giải bất phương trình: $\cos (\pi(x^2-10x)) - \sqrt{3}\sin(\pi(x^2-10x)) \ge 1$

Bất phương trình tương đương với:
\[\frac{1}{2}\cos \left( {\pi \left( {{x^2} - 10x} \right)} \right) - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \left( {\pi \left( {{x^2} - 10x} \right)} \right) \ge \frac{1}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}\cos \left( {\pi \left( {{x^2} - 10x} \right)} \right) - \sin \frac{\pi }{3}\sin \left( {\pi \left( {{x^2} - 10x} \right)} \right) \ge \cos \frac{\pi }{3}\]
\[ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{3} + \pi \left( {{x^2} - 10x} \right)} \right) \ge \cos \frac{\pi }{3}\]
$...$

[tramyvodoi]

mỉnh xin giải câu 5: đặt BC=a, AC=b,AB=c.
ta có $\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2R}$
$\geq \frac{(ab+bc+ca)}{2R}$
$\geq \frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})abc}{2R}$
$\geq \frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})2abc}{4R}$
$\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})2S_{ABC}$
$\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(ax+by+cz)$
$\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}$
lấy căn 2 vế đc điều phải chứng minh

[ngocanh69]

có ai làm câu 4 giảng em với ạ

[ngocanh69]

 $\frac{x^{3}+x}{xy-1}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow \frac{x^{3}+x}{xy-1}+x\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\frac{x^{3}+x+x^{2 }y-x}{xy-1}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\frac{x^{2}(x+y)}{xy-1}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy-1}\in\mathbb{Z} $,
$\Rightarrow\exists z\in\mathbb{Z} :z=\frac{x+y}{xy-1}\Leftrightarrow x+y+z=xyz $