Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

$ \sqrt{ 9+16a^{2}}+\sqrt{ 9+16b^{2}}+\sqrt{ 9+16c^{2}}\ge 3+4(a+b+c) $


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 bdtilove

bdtilove

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-10-2012 - 15:08

Với mọi số thực dương a, b, c thõa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
$ \sqrt{ 9+16a^{2}}+\sqrt{ 9+16b^{2}}+\sqrt{ 9+16c^{2}}\ge 3+4(a+b+c)$
Middle European Mathematical Olympiad 2012 - Team Compt. T-2 Bài này bên

Mathlinks.ro họ thảo luận rất nhiều!! Mình đưa về để mọi người cùng thảo luận!! :D Rất mong nhận được lời giải mới cho bài này!!

#2 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-10-2012 - 15:32

Em đọc được lời giải rất thú vị của anh Cẩn sử dụng bổ đề quen thuộc:
Với mọi số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn tích của chúng bằng 1 ta đều có:
$$\frac{1}{x^{2k}+x^{k}+1}+\frac{1}{y^{2k}+y^{k}+1}+\frac{1}{z^{2k}+z^{k}+1}\geq 1$$
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Lời giải:
Bất đẳng thức đầu bài tương đương với:
\[\sum \left(\sqrt{16a^2+9}-4a\right) \ge 3,\]
Hay là
\[\sum \frac{1}{\sqrt{16a^2+9}+4a} \ge \frac{1}{3}.\]
Sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
\[2\left(\sqrt{16a^2+9}+4a\right) \le \left(\frac{16a^2+9}{2a+3}+2a+3\right)+8a=\frac{18(2a^2+2a+1)}{2a+3}.\]
Vậy chúng ta chỉ cần chứng minh:
\[\sum \frac{2a+3}{2a^2+2a+1} \ge 3.\]
Chúng ta sẽ chỉ ra $\forall x\in R^{+}$ ta luôn có:
\[\frac{2x+3}{2x^2+2x+1} \ge \frac{3}{x^{\frac{8}{5}}+x^{\frac{4}{5}}+1}.\quad (1)\]
Điều này tương đương:
\[2x^{\frac{13}{5}}+2x^{\frac{9}{5}}+3x^{\frac{8}{5}}+2x+3x^{\frac{4}{5}}+3 \ge 6x^2+6x+3\]
\[\Leftrightarrow 2x^{\frac{13}{5}}+2x^{\frac{9}{5}}+3x^{\frac{8}{5}}+3x^{\frac{4}{5}} \ge 6x^2+4x.\]
Nhưng the0 $AM-GM$ ta có:
\[2x^{\frac{13}{5}}+2x^{\frac{9}{5}}+2x^{\frac{8}{5}} \ge 6\sqrt[3]{x^{\frac{13}{5}+\frac{9}{5}+\frac{8}{5}}}=6x^2\]
Và:
\[x^{\frac{8}{5}}+3x^{\frac{4}{5}} \ge 4\sqrt[4]{x^{\frac{8}{5}+3\cdot \frac{4}{5}}}=4x.\]
Vì vậy bất đẳng thức cuối cùng đúng hay (1) đúng.
Sử dụng (1),ta chỉ cần chứng minh:
\[\sum \frac{1}{a^{\frac{8}{5}}+a^{\frac{4}{5}}+1} \ge 1.\]
Và đây chính là bổ đề ở trên,chúng ta có điều phải chứng minh :)
---------------------------------------
P/s:Không phải tình cờ mà anh Cẩn tìm ra được bất đẳng thức phụ (1).Với những bài toán như thế này,chúng ta sẽ thiết 1 bất đẳng thức phụ dạng:
\[\frac{2x+3}{2x^2+2x+1} \ge \frac{a}{x^{2k}+x^{k}+1}\]
Đầu tiên ta ch0 $x=1$ và 2 vế bằng nhau để tìm $a$.Còn tìm $k$ ta sẽ đạo hàm 2 vế,ch0 $x=1$ và giải phương trình.Công việc còn lại là kiểm tra tính đúng sai của bất đẳng thức :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 17-10-2012 - 15:40

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh