Đến nội dung

Hình ảnh

[MSS2013] Trận 9 - Phương trình nghiệm nguyên - đồng dư


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 24 trả lời

#21
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
Xin lỗi mọi người vì làm hơi chậm...
----

Đề bài: Cho hai số tự nhiên $a$, $b$ sao cho $a>b$ và tổng của $a+b\vdots 2$. Chứng minh rằng $a^{2}-a-b^{2}$ không thể là số chính phương.


Đáp án:
Bổ đề: Nếu có hai số tự nhiên $a$, $b$ nguyên tố cùng nhau. Giả sử gọi $p$ là ước nguyên tố lẻ của $a^{2}+b^{2}$ thì $p\equiv 1\left ( mod4 \right )$.
Chứng minh:
$\blacktriangleright$ Nếu $p\equiv 3\left ( mod4 \right )$ ta đặt $p=4k+3$. Nếu $a\vdots p$ hoặc $b\vdots p$ thì $a$ và $b$ cùng chia hết cho $p$ (vô lý vì $\left ( a;b \right )=1$).
Do vậy $a$ và $b$ đều không chia hết cho $p$.
Suy ra $\left ( a;p \right )=1$ và $\left ( b;p \right )=1$.
Theo định lý Fermat nhỏ có $a^{p-1}\equiv 1\left ( modp \right )$ hay $a^{4k+2}\equiv 1\left ( modp \right )$.
Tương tự $b^{4k+2}\equiv 1\left ( modp \right )$.
Suy ra $a^{4k+2}+b^{4k+2}\equiv 2\left ( modp \right )$.
Mặt khác $a^{4k+2}+b^{4k+2}\vdots a^{2}+b^{2} \vdots p$.
Do đó $2\vdots p$ (vô lý vì $p$ là nguyên tố lẻ).
Vậy bổ đề được chứng minh.
Quay trở lại với bài toán ta có:
Giả sử $a^{2}-a-b^{2}=n^{2}$ ($n\in \mathbb{N}$) hay $4a^{2}-4a-4b^{2}=4n^{2}$.
$\Rightarrow \left ( 2a-1+2b \right )\left ( 2a-1-2b \right )=4^{2}+1\\
\Leftrightarrow \left [ 2\left ( a+b \right )-1 \right ]\left [ 2\left ( a+b \right )-4b-1 \right ]=4n^{2}+1$
Vì $a+b\vdots 2$ nên $2a-1+2b$ và $2a-2b-1$ là các số lẻ chia $4$ dư $3$.
Vậy $a^{2}-a-b^{2}$ không thể là số chính phương. $\blacksquare$

Sau đây mình sẽ chấm bài của các bạn :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 25-10-2012 - 16:08

Thích ngủ.


#22
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
Thông báo: Đã chấm xong trận 9 mời các bạn xem lại bài đã chấm và có thể phúc khảo lại nếu có sai sót (hạn chót phúc khảo là hết ngày hôm nay).
----
Điểm toán thủ ra đề minhhieukaka: $D_{rd}=4.\left ( 21-19 \right )+3.17+2.3+30=95$.

Thích ngủ.


#23
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết

Lời giải của toán thủ ConanTM:
Đặt: S(a) = $a^2-a-b^2$. Giả sử S(a) là số chính phương thì S(1-a) cũng là số chính phương mà a và 1 - a khác tính chẵn lẻ => Mâu thuẫn vì theo giả thiết thì a và b phải cùng tính chẵn lẻ. (đpcm)
=================================
Mở rộng 1 của toán thủ ConanTM:
Với a + b chia hết cho 2 thì ta cũng có $(a+m)^2-(a+m)-b^2$ (với m nguyên dương) không là số chính phương vì nếu S(a+m) là số chính phương thì ta cũng có S[1-(a+m)] cũng là số chính phương mà a + m và 1 - (a + m) khác tính chẵn lẻ => mâu thuẫn.
Mở rộng 2 của toán thủ ConanTM:
Với a + b chia hết cho 2 thì ta cũng có $(ma)^2-ma-b^2$ (với m nguyên dương) không là số chính phương vì nếu S(am) là số chính phương thì ta cũng có S[1-(am)] cũng là số chính phương mà a m và 1 - (a m) khác tính chẵn lẻ => mâu thuẫn.
Mở rộng 3 của toán thủ ConanTM:
Với a + b chia hết cho 2 thì ta cũng có $(na+m)^2-(na+m)-b^2$ (với m, n nguyên dương) không là số chính phương vì nếu S(na+m) là số chính phương thì ta cũng có S[1-(na+m)] cũng là số chính phương mà na + m và 1 - (na + m) khác tính chẵn lẻ => mâu thuẫn.
----
Điểm bài làm: 10
Tổng điểm: $\left [ \dfrac{52-\left ( 23-19 \right )}{2} \right ]+3.10+3.10+10=94$


Anh có thể giải thích cách làm của bạn ConanTM được ko ạ?

#24
NGUYEN MINH HIEU TKVN

NGUYEN MINH HIEU TKVN

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết

Xin lỗi mọi người vì làm hơi chậm...
----



Sau đây mình sẽ chấm bài của các bạn :D

================================
ANH CÓ THỂ GIẢI THÍCH BÀI CỦA CONANTM CHO EM ĐƯỢC KHÔNG?
====================
EM LÀ MINHHIEUKAKA ĐÓ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGUYEN MINH HIEU TKVN: 03-11-2012 - 21:39


#25
thanhluong

thanhluong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

Lời giải của toán thủ ConanTM:
Đặt: S(a) = $a^2-a-b^2$. Giả sử S(a) là số chính phương thì S(1-a) cũng là số chính phương mà a và 1 - a khác tính chẵn lẻ => Mâu thuẫn vì theo giả thiết thì a và b phải cùng tính chẵn lẻ. (đpcm)

Theo mình thì không thể xét $S(1-a)$ được vì để $1-a$ là số tự nhiên thì $a \leq 1 \Rightarrow b \leq 0 \Rightarrow b=0$ và $a=0$ hoặc $a=1$.

Đổi mới là điều tạo ra sự khác biệt giữa người lãnh đạo và kẻ phục tùng.


STEVE JOBS





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh