----
Đề bài: Cho hai số tự nhiên $a$, $b$ sao cho $a>b$ và tổng của $a+b\vdots 2$. Chứng minh rằng $a^{2}-a-b^{2}$ không thể là số chính phương.
Sau đây mình sẽ chấm bài của các bạnĐáp án:
Bổ đề: Nếu có hai số tự nhiên $a$, $b$ nguyên tố cùng nhau. Giả sử gọi $p$ là ước nguyên tố lẻ của $a^{2}+b^{2}$ thì $p\equiv 1\left ( mod4 \right )$.
Chứng minh:
$\blacktriangleright$ Nếu $p\equiv 3\left ( mod4 \right )$ ta đặt $p=4k+3$. Nếu $a\vdots p$ hoặc $b\vdots p$ thì $a$ và $b$ cùng chia hết cho $p$ (vô lý vì $\left ( a;b \right )=1$).
Do vậy $a$ và $b$ đều không chia hết cho $p$.
Suy ra $\left ( a;p \right )=1$ và $\left ( b;p \right )=1$.
Theo định lý Fermat nhỏ có $a^{p-1}\equiv 1\left ( modp \right )$ hay $a^{4k+2}\equiv 1\left ( modp \right )$.
Tương tự $b^{4k+2}\equiv 1\left ( modp \right )$.
Suy ra $a^{4k+2}+b^{4k+2}\equiv 2\left ( modp \right )$.
Mặt khác $a^{4k+2}+b^{4k+2}\vdots a^{2}+b^{2} \vdots p$.
Do đó $2\vdots p$ (vô lý vì $p$ là nguyên tố lẻ).
Vậy bổ đề được chứng minh.
Quay trở lại với bài toán ta có:
Giả sử $a^{2}-a-b^{2}=n^{2}$ ($n\in \mathbb{N}$) hay $4a^{2}-4a-4b^{2}=4n^{2}$.
$\Rightarrow \left ( 2a-1+2b \right )\left ( 2a-1-2b \right )=4^{2}+1\\
\Leftrightarrow \left [ 2\left ( a+b \right )-1 \right ]\left [ 2\left ( a+b \right )-4b-1 \right ]=4n^{2}+1$
Vì $a+b\vdots 2$ nên $2a-1+2b$ và $2a-2b-1$ là các số lẻ chia $4$ dư $3$.
Vậy $a^{2}-a-b^{2}$ không thể là số chính phương. $\blacksquare$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 25-10-2012 - 16:08