Chủ đề này có 36 trả lời

[E. Galois]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 20/10/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 8 có 20 toán thủ nên 0 toán thủ nào bị loại

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

3) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ không được tự ý sửa bài của mình vì nếu sửa sẽ bị chấm là 0 điểm.

4) Từ trận 7, điều lệ đã có sự thay đổi

- Sau mỗi trận, sẽ có một số toán thủ bị loại theo thứ tự ưu tiên sau:
+ Điểm xét bị loại thấp hơn
+ Tham gia lâu hơn mà chưa ra đề
+ Số báo danh nhỏ hơn

- Gọi $D_{rd}$ là điểm của toán thủ ra đề:
$$D_{rd}= 4*\left (t_{lb1} - t_{bd} \right ) + 3*n_{klb} + 2*n_{mr} + 30$$

* Gọi $S$ là điểm của toán thủ làm bài.
$$S = \left [\frac{52 - \left (t_{lb} - t_{rd} \right )}{2} \right ]+3*d+d_{mr}+d_{t}$$
Trong đó:
Kí hiệu $[x]$ chỉ phần nguyên của số thập phân $x$.

[E. Galois]

Thông báo quan trọng:
Do sơ xuất, BTC sẽ tạm dời thời điểm bắt đầu trận đấu lại 1 ngày. Trận 8 sẽ bắt đầu từ 20h00 ngày 20/10/2012. Kết thúc vào 24h00 ngày 22/10/2012. Thành thật xin lỗi các bạn

[E. Galois]

Giải hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y = {x^2} + 3xy + {y^2} \\
{x^2} + 2{y^2} = x + 2y \\
\end{array} \right.$$

Toán thủ ra đề
longqnh

[minh29995]

**Với x=0 thì từ hệ suy ra y=0
Vậy $x=y=0$ là 1 nghiệm của hệ.
**Với $x,y \neq 0$ thì do $x+2y= x^2+2y^2$ nên $x+2y>0$
Do đó:
$2x+3y= x^2+3xy+y^2$
$\Leftrightarrow \left (2x+3y \right )(x^2+2y^2)= \left (x^2+3xy+y^2 \right )(x+2y)$
$\Leftrightarrow x^3-2x^2y-3xy^2+4y^3=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y\\ x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}y\\ x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}y \end{bmatrix}$
Với x=y thay vào hệ ta được $x=y=1$ (thỏa mãn)
Với $x=\frac{\sqrt{17}-1}{2}y$ thay vào hệ suy ra $\left\{\begin{matrix} x=\frac{23+7\sqrt{17}}{38}\\ y=\frac{6+\sqrt{17}}{19} \end{matrix}\right.$ (thỏa mãn)
Với $x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}y$ thay vào hệ ta được:
$\left\{\begin{matrix} x=\frac{23-7\sqrt{17}}{38}\\ y=\frac{6-\sqrt{17}}{19} \end{matrix}\right.$ (thỏa mãn)
KẾT LUẬN: Hệ đã cho có 4 cặp nghiệm
$x=y=0$; $x=y=1$; $\left\{\begin{matrix} x=\frac{23+7\sqrt{17}}{38}\\ y=\frac{6+\sqrt{17}}{19} \end{matrix}\right.$;
$\left\{\begin{matrix} x=\frac{23-7\sqrt{17}}{38}\\ y=\frac{6-\sqrt{17}}{19} \end{matrix}\right.$

[minh29995]

**Với x=0 thì từ hệ suy ra y=0
Vậy $x=y=0$ là 1 nghiệm của hệ.
**Với $x,y \neq 0$ thì do $x+2y= x^2+2y^2$ nên $x+2y>0$
Do đó:
$2x+3y= x^2+3xy+y^2$
$\Leftrightarrow \left (2x+3y \right )(x^2+2y^2)= \left (x^2+3xy+y^2 \right )(x+2y)$
(lạm dụng dấu tương đương, Phương trình này là Hệ quả của hệ ban đầu)
$\Leftrightarrow x^3-2x^2y-3xy^2+4y^3=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y\\ x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}y\\ x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}y \end{bmatrix}$
Với x=y thay vào hệ ta được $x=y=1$ (thỏa mãn)
Với $x=\frac{\sqrt{17}-1}{2}y$ thay vào hệ suy ra $\left\{\begin{matrix} x=\frac{23+7\sqrt{17}}{38}\\ y=\frac{6+\sqrt{17}}{19} \end{matrix}\right.$ (thỏa mãn) (Nhầm lẫn đáng tiếc)
Với $x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}y$ thay vào hệ ta được:
$\left\{\begin{matrix} x=\frac{23-7\sqrt{17}}{38}\\ y=\frac{6-\sqrt{17}}{19} \end{matrix}\right.$ (thỏa mãn)
KẾT LUẬN: Hệ đã cho có 4 cặp nghiệm
$x=y=0$; $x=y=1$; $\left\{\begin{matrix} x=\frac{23+7\sqrt{17}}{38}\\ y=\frac{6+\sqrt{17}}{19} \end{matrix}\right.$;
$\left\{\begin{matrix} x=\frac{23-7\sqrt{17}}{38}\\ y=\frac{6-\sqrt{17}}{19} \end{matrix}\right.$

Điểm: 9
S = 26 + 3x9 + 10 + 10 = 73

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 25-10-2012 - 22:55
Chấm điểm

[Spin9x]

Giải hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y = {x^2} + 3xy + {y^2} \\
{x^2} + 2{y^2} = x + 2y \\
\end{array} \right.$$

Toán thủ ra đề
longqnh

Giải hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y = {x^2} + 3xy + {y^2} (1)\\
{x^2} + 2{y^2} = x + 2y (2)\\
\end{array} \right.$$

Toán thủ ra đề
longqnh

BÀI GIẢI:
Xét $x=y=0$ thì hệ có nghiệm $(0;0)$
Xét đồng thời 2 số $x,y$ khác 0 (Có vẻ không logic lắm)
Nhân theo vế của hai phương trình ta có
$(2x+3y)(x^2+2y^2)=(x+2y)(x^2+3xy+y^2)$
$\Leftrightarrow 2x^3+4xy^2+3x^2y+6y^3=x^3+3x^2y+xy^2+2x^2y+6xy^2+2y^3$
$\Leftrightarrow x^3-2x^2y-3xy^2+4y^3=0(*)$
Do điều kiên đã đặt nên ta chia 2 vế của (*) cho $y^3$
rồi đặt $t=\frac{x}{y}$
$(*) \Leftrightarrow t^3-2t^2-3t+4=0$
$\Leftrightarrow ( t-1)(t^2-t-4)=0$
TH1: $t=1$
$\frac{x}{y}=1$
$\Leftrightarrow x=y$
Thay vào (2) ta có:
$3x^2=3x$
Giải ra ta kết hợp ĐK được nghiệm của hệ là $(1;1)$
TH2:$t^2-t-4=0$
$\Leftrightarrow t=\frac{1-\sqrt{17}}{2} (3)$
hoặc
$\Leftrightarrow t=\frac{1+\sqrt{17}}{2} (4)$
(Lưu ý về cách viết nghiệm của phương trình)
Với (3) ta có
$x=\alpha y$ với $\alpha=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$
Thay vào (2) ta có
$(\alpha^2+2)y^2=(\alpha+2)y$
Do ĐK nên ta lấy
$y=\frac{\alpha+2}{\alpha^2+2}$
$x=\alpha y=\frac{\alpha^2+2\alpha}{\alpha^2+2}$
Vậy hệ có nghiệm là
$(x;y)=(\frac{\alpha^2+2\alpha}{\alpha^2+2};\frac{\alpha+2}{\alpha^2+2})$
vơi $\alpha=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$
Với (4) ta có:
$x=\beta y$ với $\beta=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$
Thay vào (2) ta có
$(\beta^2+2)y^2=(\beta+2)y$
Do ĐK nên ta lấy
$y=\frac{\beta+2}{\beta^2+2}$
$x=\beta=\frac{\beta^2+2\beta}{\beta^2+2}$
Vậy hệ có nghiệm là
$(x;y)=(\frac{\beta^2+2\beta}{\beta^2+2};\frac{\beta+2}{\beta^2+2})$
vơi $\beta=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$
Kết Luận:
Hệ có nghiệm là
$(0;0) , (1;1)$

$(x;y)=(\frac{\alpha^2+2\alpha}{\alpha^2+2};\frac{\alpha+2}{\alpha^2+2})$ với $\alpha=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$

$(x;y)=(\frac{\beta^2+2\beta}{\beta^2+2};\frac{\beta+2}{\beta^2+2})$
vơi $\beta=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$.

Hoàn toàn có thể viết nghiệm thành số, không nên để alpha.
Điểm bài: 9
S=26+3x9=53

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 25-10-2012 - 23:00
Chấm điểm

[hoangtrong2305]

Giải hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y = {x^2} + 3xy + {y^2} \\
{x^2} + 2{y^2} = x + 2y \\
\end{array} \right.$$

$\left\{ \begin{array}{l} 2x + 3y = {x^2} + 3xy + {y^2} (1)\\ {x^2} + 2{y^2} = x + 2y (2)\\ \end{array} \right.$

$(1)+(2)\Leftrightarrow x(1-3y)=-y-y^{2}$ (*)

Trường hợp 1: $y=\frac{1}{3}$, thay vào $(*)\Rightarrow 0=-\frac{4}{9}$ (vô lý)

Trường hợp 2: $y\neq \frac{1}{3}$

$(*) \Leftrightarrow x=\frac{y^{2}+y}{3y-1}$ (3)

Thay vào $(2)\Leftrightarrow {(\frac{y^{2}+y}{3y-1})^2} + 2{y^2} = \frac{y^{2}+y}{3y-1} + 2y$

$\Leftrightarrow (y^{2}+y)^{2} + 2{y^2}(3y-1)^{2} = (y^{2}+y)(3y-1) + 2y(3y-1)^{2}$

$\Leftrightarrow 19y^{4}-31y^{3}+13y^{2}-y=0$

$\Leftrightarrow y(y-1)(19y^{2}-12y+1)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=0\\ y=1\\ y=\frac{6+\sqrt{17}}{19}\\ y=\frac{6-\sqrt{17}}{19} \end{bmatrix}$

Với $y=0$, thay vào $(3)\Leftrightarrow x=0$

Với $y=1$, thay vào $(3)\Leftrightarrow x=1$

Với $y=\frac{6+\sqrt{17}}{19}$, thay vào $(3)\Leftrightarrow x=\frac{167+31\sqrt{17}}{19(3\sqrt{17}-1)}$

Với $y=\frac{6-\sqrt{17}}{19}$, thay vào $(3)\Leftrightarrow x=\frac{167-31\sqrt{17}}{-19(3\sqrt{17}+1)}$

KẾT LUẬN: Hệ phương trình có $4$ cặp nghiệm $(x;y)$:

$\boxed{(0;0),(\frac{167+31\sqrt{17}}{19(3\sqrt{17}-1)};\frac{6+\sqrt{17}}{19}),(1;1),(\frac{167-31\sqrt{17}}{-19(3\sqrt{17}+1)};\frac{6-\sqrt{17}}{19})}$

Chưa rút gọn kết quả cuối cùng
Điểm 9,5
S=25+3x9,5 = 53,5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 25-10-2012 - 23:02
Chấm điểm

[luuxuan9x]

Giải hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y = {x^2} + 3xy + {y^2} (1)\\
{x^2} + 2{y^2} = x + 2y (2)\\
\end{array} \right.$$

Toán thủ ra đề
longqnh

Bài giải của luuxuan9x.

*)Nhận thấy nếu $x=0$ =>$y=0$.

Vậy $x=y=0$ là một nghiệm của hệ.

*) Xét $x\neq 0$ và $y\neq 0$.

Khi đó 2 vế của 2 phương trình trên luôn khác $0$.

Từ đó nhân (1) và (2) vế theo vế ta được:

$(2x+3y)(x^2+2y^2)=(x+2y)(x^2+3xy+y^2)$

<=>$2x^3+3x^2y+4xy^2+6y^3=x^3+2x^2y+3x^2y+6xy^2+xy^2+2y^3$

<=>$x^3-2x^2y-3xy^2+4y^3=0$ (vì $y\neq 0$)

<=>$(\frac{x}{y})^3-2(\frac{x}{y})^2-3(\frac{x}{y})+4=0$

<=>$\begin{bmatrix} \frac{x}{y}=1\\ \frac{x}{y}=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\\ \frac{x}{y}=\frac{1-\sqrt{17}}{2} \end{bmatrix}$

+)Với $\frac{x}{y}=1$ =>$x=y$.

Thay vào 2 ta được $3x^2=3x$

<=>$x=1$ (vì $x\neq 0$) =>$y=1$

+)Với $\frac{x}{y}=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$

=>$x=ay$ với $a=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$

Thay vào (2) ta được : $y^2(a^2+2)=y(a+2)$

<=>$y=\frac{a+2}{a^2+2}$ (vì $y\neq 0$)

=>$x=\frac{a^2+2a}{a^2+2}$

+) Tương tự với $\frac{x}{y}=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$

=>$x=by$ với $b=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$


Thay vào (2) ta được : $y^2(b^2+2)=y(b+2)$

<=>$y=\frac{b+2}{b^2+2}$ (vì $y\neq 0$)

=>$x=\frac{b^2+2b}{b^2+2}$

Vậy phương trình có nghiệm (0;0),(1;1),($\frac{a^2+2a}{a^2+2}$;$\frac{a+2}{a^2+2}$), ($\frac{b^2+2b}{b^2+2}$;$\frac{b+2}{b^2+2}$) với $a=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$, $b=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$

Hoàn toàn có thể viết nghiệm thành số, không nên để a,b
Điểm bài: 9,5
S=25+3x9,5+10=63,5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 25-10-2012 - 23:03
Ghi điểm

[BoFaKe]

Giải hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y = {x^2} + 3xy + {y^2} \\
{x^2} + 2{y^2} = x + 2y \\
\end{array} \right.$$

Toán thủ ra đề
longqnh

*Xét $x=0$ thì ta có hệ:
$$\left\{\begin{matrix} 3y=y^{2} & & \\ 2y^{2}=2y^{2} & & \end{matrix}\right.
\Leftrightarrow y=0$$
Tương tự:$y=0$ thì $x=0$.
*Xét $y\neq 0,x\neq 0$,Đặt $y= kx$ ($k\neq 0$).Khi đó hệ sẽ trở thành:

$$\left\{\begin{matrix} 2x+3ky=x^{2}+3kx^{2}+k^{2}x^{2} & & \\ x^{2}+2k^{2}x^{2}=x+2kx & & \end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix} x(2+3k)=x^{2}(k^{2}+3k+1) & & \\ x(2k+1)=x^{2}(2k^{2}+1) & & \end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x(k^{2}+3k+1)=3k+2 (1)(k\neq \frac{-2}{3})& & \\ x=\frac{1+2k}{2k^{2}+1} (2)(k\neq \frac{-1}{2})& & \end{matrix}\right.$$
Thay $(2)$ vào $(1)$ ta sẽ được:
$$\frac{1+2k}{2k^{2}+1}.(k^{2}+3k+1)=3k+2$$
$$\Leftrightarrow (1+2k)(k^{2}+3k+1)=(3k+2)(1+2k^{2})$$
$$\Leftrightarrow 4k^{3}-3k^{2}-2k+1=0$$
$$\Rightarrow k=1 \vee k=\frac{-1+\sqrt{17}}{8} \vee k=\frac{-1-\sqrt{17}}{8}$$
*Với $k=1$ thì $x=y=1$.
*Với $k=\frac{-1+\sqrt{17}}{8}$ thì $x= \frac{23+7\sqrt{17}}{38}\Rightarrow y=\frac{6+\sqrt{17}}{19}$
*Với $k=\frac{-1-\sqrt{17}}{8}$ thì $x= \frac{23-7\sqrt{17}}{38}\Rightarrow y=\frac{6-\sqrt{17}}{19}$
Vậy hệ có 4 nghiệm đó là :$(x;y)\in ((0;0);(1;1);(\frac{23-7\sqrt{17}}{38};\frac{6-\sqrt{17}}{19});(\frac{23+7\sqrt{17}}{38};\frac{6+\sqrt{17}}{19}))$

Điểm bài 10

S = 25+3x10+10 = 65

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 25-10-2012 - 23:05
Chấm điểm

[songvui000]

Giải hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y = {x^2} + 3xy + {y^2} \\
{x^2} + 2{y^2} = x + 2y \\
\end{array} \right.$$

Toán thủ ra đề
longqnh

Ta có
$\left\{\begin{matrix} 2x+3y=x^{2}+3xy+y^{2}&(1) \\ x^{2}+2y^{2}=x+2y& (2) \end{matrix}\right.$
Lấy (1) trừ (2) ta được
$\left\{\begin{matrix} x+y=3xy-y^{2}&(3) \\ x^{2}+2y^{2}=x+2y& \end{matrix}\right.$
ta có (3) $\Leftrightarrow y^{2}+y=3xy-x$
$\Leftrightarrow y^{2}+y=x(3y-1)$
Xét trường hợp $3y-1=0$
$\Leftrightarrow y=\frac{1}{3}$
Thay $y=\frac{1}{3}$ vào pt đầu không có nghiệm x thoả mãn hệ pt trên
Trường hợp $y\neq \frac{1}{3}$
$x=\frac{y^{2}+y}{3y-1}$ (4)
Thế x vào pt (2) ta được
$(\frac{y^{2}+y}{3y-1})^{2}+2y^{2}=\frac{y^{2}+y}{3y-1}+2y$
$\Leftrightarrow \frac{y^{4}+2y^{3}+y^{2}}{9y^{2}-6y+1}+\frac{2y^{2}(9y^{2}-6y+1)}{9y^{2}-6y+1}=\frac{(y^{2}+y)(3y-1)}{9y^{2}-6y+1}+\frac{2y(9y^{2}-6y+1)}{9y^{2}-6y+1}$
$\Leftrightarrow y(19y^{3}-31y^{2}+13y-1)=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=0 & \\ 19y^{3}-31y^{2}+13y-1=0& \end{matrix}\right.$
Giải pt bậc 3 ta được
$\begin{bmatrix} y=0 & \\ 19y^{3}-31y^{2}+13y-1=0 & \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=0 & \\ y=1 & \\ y=\frac{6+\sqrt{17}}{19} & \\ y=\frac{6-\sqrt{17}}{19} & \end{bmatrix}$
Thế y=0 vào pt ban đầu
ta được
$\left\{\begin{matrix} 2x=x^{2} & \\ x^{2}=x & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=0$
Thế y=1 vào hệ pt ban đầu
ta được
$\left\{\begin{matrix} 2x+3=x^{2}+3x+1 & \\ x^{2}+2=x+2 & \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2x+3=x^{2}+3x+1 & \\ x^{2}+2=x+2 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+x-2=0 & \\ x^{2}=x & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x=1$
Thế $y=\frac{6+\sqrt{17}}{19}$ vào (4)
$x=\frac{(\frac{6+\sqrt{17}}{19}^{2})+\frac{6+\sqrt{17}}{19}}{3(\frac{6+\sqrt{17}}{19})-1}$
$\Leftrightarrow x=\frac{167+31\sqrt{17}}{57\sqrt{17}-19}$
Thế $y=\frac{6-\sqrt{17}}{19}$ vào (4)
$x=\frac{(\frac{6-\sqrt{17}}{19})^{2}+\frac{6-\sqrt{17}}{19}}{3(\frac{6-\sqrt{17}}{19})-1}$
$\Leftrightarrow x=-\frac{167-31\sqrt{17}}{57\sqrt{17}+19}$
Vậy hệ pt ban đầu có 4 nghiệm (x;y)=(0;0),(1;1),($\frac{6+\sqrt{17}}{19};\frac{167+31\sqrt{17}}{57\sqrt{17}-19}$),($\frac{6-\sqrt{17}}{19};-\frac{167-31\sqrt{17}}{57\sqrt{17}+19}$)

Điểm bài: 9,5

S = 25 + 3x9,5 = 53,5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 25-10-2012 - 23:06
Chấm bài

[BoFaKe]

Mở rông 1:Sử dụng phương pháp trên với hệ tổng quát hơn:
Xét hệ :
$\left\{\begin{matrix} ax+by=cx^{2}+dxy+ey^{2} & & \\ fx^{2}+my^{2}=nx+py & & \end{matrix}\right.$
với $a,b,c,d,e,f,m,n,p$ bất kì thuộc $R$.
Với cách tương tự thì ta xét $x=0$ thì $y=0$ hoặc $y=\frac{b}{e}=\frac{m}{p}$(nếu $\frac{b}{e}=\frac{m}{p}$)
Tương tự xét $y=0$ thì $x=0$ hoặc $x=\frac{c}{a}=\frac{n}{f}$(nếu $\frac{c}{a}=\frac{n}{f}$)
Sau đó xét $x,y$ khác 0 và đặt $y=kx$(với $k$ khác $0$
Rồi thay vào hệ biến đổi về dạng:
$\left\{\begin{matrix} x(a+bk)=x^{2}(c+dk+ek^{2}) & & \\ x(f+mk)=x^{2}(n+pk^{2}) & & \end{matrix}\right.$
Sau đó đặt điều kiện cho $k$ ;chia 2 vế cho $x$,rồi rút $x$ theo $k$,và công việc tiếp theo là giải phương trình bậc 3.(Có thể giải bằng Cacdano,phương pháp lượng giác hóa..)Lúc này có được $k$ ta sẽ tính được $x$ và $y$.

Điểm mở rộng 5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 25-10-2012 - 23:07
Chấm bài

[19kvh97]

Viết lại hệ trở thành
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+3xy+y^{2}=2x+3y (1) & & \\ x^{2}+2y^{2}=x+2y (2) & & \end{matrix}\right.$
Lấy $(1)-(2)$ ta được
$3xy-y^{2}=x+y$$\Rightarrow x(3y-1)=y^{2}+y$
dễ thấy $y=\frac{1}{3}$ không thỏa mãn hệ nên ta có $x=\frac{y^{2}+y}{3y-1}$
thay vào 2 ta được $(\frac{y^{2}+y}{3y-1})^{2}+2y^{2}=\frac{y^{2}+y}{3y-1}+2y(3)$
** Nếu $y=0$ suy ra $x=0$
**Nếu $y\neq 0$ thì $(3)$ trở thành
$19y^{3}-31y^{2}+13y-1=0$$\Leftrightarrow (y-1)(19y^{2}-12y+1)=0$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} y=1 & & \\ 19y^{2}-12y+1=0 & & \end{bmatrix}$
*Nếu $y=1$ suy ra $x=1$
*Nếu $19y^{2}-12y+1=0$ $\Rightarrow \begin{bmatrix} y=\frac{6+\sqrt{17}}{19} & & \\ y=\frac{6-\sqrt{17}}{19} & & \end{bmatrix}$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{167+31\sqrt{17}}{57\sqrt{17}-19} & & \\ x=\frac{-167+31\sqrt{17}}{57\sqrt{17}+19} & & \end{bmatrix}$
KL vậy tập nghiệm $(x;y)$ của pt là
$(0;0),(1;1),(\frac{6+\sqrt{17}}{19};\frac{167+31\sqrt{17}}{57\sqrt{17}-19}),(\frac{6-\sqrt{17}}{19};\frac{-167+31\sqrt{17}}{57\sqrt{17}+19})$

Chưa rút gọn kết quả. Điểm bài 9,5

S = 24 + 3x9,5 = 52,5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 25-10-2012 - 23:10
Chấm bài

[chagtraife]

ta có:
$\left\{\begin{matrix} 2x+3y=x^{2}+3xy+y^{2} & & \\ x^{2}+2y^{2}=x+2y & & \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y^{2}-3xy=-x-y & & \\ x^{2}+2y^{2}-x-2y & & \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y^{2}-3xy+x+y=0 & & \\ x(x-1)+2y(y-1)=0 & & \end{matrix}\right.$

*$y= \frac{1}{3}$$\Rightarrow$ pt vô nghiệm!
*$y\neq \frac{1}{3}$
khi đó:pt
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{y^{2}-y}{3y-1} & & \\ \frac{y^{2}+y}{3y-1}(\frac{y^{2}+y}{3y-1}-1)+2y(y-1)=0 (2)& & \end{matrix}\right.$
từ (2) suy ra:y=0;y=1;hoặc:
$19y^{2}-12y+1= 0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=\frac{6+\sqrt{17}}{19} & & \\ y=\frac{6-\sqrt{17}}{19} & & \end{bmatrix}$
+$y=0\Rightarrow x=0$
+$y=1\Rightarrow x=1$
+$y=\frac{6+\sqrt{17}}{19}\Rightarrow x=\frac{(\frac{6+\sqrt{17}}{19})^{2}+\frac{6+\sqrt{17}}{19}}{3\frac{6+\sqrt{17}}{19}-1}$
+$y=\frac{6-\sqrt{17}}{19}\Rightarrow x=\frac{(\frac{6-\sqrt{17}}{19})^{2}+\frac{6-\sqrt{17}}{19}}{3\frac{6-\sqrt{17}}{19}-1}$
vậy phương trình có 4 nghiệm:$(0;0);(1;1);(\frac{(\frac{6+\sqrt{17}}{19})^{2}+\frac{6+\sqrt{17}}{19}}{3\frac{6+\sqrt{17}}{19}-1};\frac{6+\sqrt{17}}{19});(\frac{(\frac{6-\sqrt{17}}{19})^{2}+\frac{6-\sqrt{17}}{19}}{3\frac{6-\sqrt{17}}{19}-1};\frac{6-\sqrt{17}}{19})$

Chưa rút gọn kết quả. Điểm bài 9,5

S = 24 + 3x9,5 + 10= 62,5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 25-10-2012 - 23:13
Chấm bài

[Gioi han]

$\left\{\begin{matrix}2x+3y=x^{2}+3xy+y^{2} & & \\ x^{2}+2y^{2}=x+2y(*) & & \end{matrix}\right.$
Nhân từng vế của 2 phương trình ta được :
$x^{3}-2x^{2}y-3xy^{2}+4y^{3}=0(1)$
Ta thấy $y=0$ thì $x=0 \Rightarrow (x;y)=(0;0)$ là nghiệm của hệ.
Xét $y \neq 0$ ,chia cả 2 vế của $(1)$ cho $y^{3}$ ta được :
$\frac{x^{3}}{y^{3}}-2\frac{x^{2}}{y^{2}}-3 \frac{x}{y}+4=0 (2)$
Đặt $\frac{x}{y}=t (t \neq 0)$ ta có $(2)$ trở thành :
$t^{3}-2t^{2}-3t+4=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array} t = 1 \\\ t =\frac{1-\sqrt{17}}{2} \\\ t=\frac{1+\sqrt{17}}{2} ™\, \end{array}\right.$
$\Rightarrow \left[\begin{array} x = y \\\ x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}y \\\ x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}y ™\, \end{array}\right.$
Lỗi Latex
Thay lần lượt các giá trị của $x$ theo $y$ vào pt $(*)$ ta đều thu được nghiệm $(x;y)=(1;1)$
Vậy các nghiệm của hệ là $(x;y)=(1;1);(0;0)$.

Kết luận thiếu nghiệm
Điểm 6
S = 24 +3x6 = 42

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 25-10-2012 - 23:14
Chấm bài

[kphongdo]

Giải hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y = {x^2} + 3xy + {y^2} \\
{x^2} + 2{y^2} = x + 2y \\
\end{array} \right.$$

Từ giả thiết ta có:
$3(2x+3y-x^2-3xy-y^2)+5(x^2+2y^2-x-2y)=0$
$\Leftrightarrow (x-y)(2x-7y+1)=0$
$\Leftrightarrow x=y$ hoặc $x=\frac{7y-1}{2}$
TH1: $x=y$ suy ra ${x^2} + 2{y^2} = x + 2y \Leftrightarrow 3y(y-1)=0 \Leftrightarrow y=0$ hoặc $y=1$
Suy ra $(x,y)=(0,0);(1,1)$
TH2: $x=\frac{7y-1}{2}$ suy ra ${x^2} + 2{y^2} = x + 2y \Leftrightarrow 3-36y+57y^2=0 \Leftrightarrow y=\frac{6 \pm \sqrt{17}}{19}$
Suy ra $(x,y)=\left(\frac{23+7\sqrt{17}}{38}, \frac{6+\sqrt{17}}{19} \right);\left(\frac{23-7\sqrt{17}}{38}, \frac{6-\sqrt{17}}{19} \right)$
Từ đó ta được các cặp $(x,y)=(0,0);(1,1);\left(\frac{23+7\sqrt{17}}{38}, \frac{6+\sqrt{17}}{19} \right);\left(\frac{23-7\sqrt{17}}{38}, \frac{6-\sqrt{17}}{19} \right)$
Thử lại vào hệ phương trình thấy thỏa mãn
Vậy $(x,y)=(0,0);(1,1);\left(\frac{23+7\sqrt{17}}{38}, \frac{6+\sqrt{17}}{19} \right);\left(\frac{23-7\sqrt{17}}{38}, \frac{6-\sqrt{17}}{19} \right)$

Điểm 10

S = 20 + 3x10 = 50

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 25-10-2012 - 23:16
Chấm bài

[chagtraife]

mở rộng:
xét bài toán:
$\left\{\begin{matrix} ax^{2}+(a+k)y^{2}=ax+(a+k)y (1)& & \\ ax^{2}+ay^{2}+3kxy=(a+k)x+(a+2k)y (2) & & \end{matrix}\right.$
với k,a là các số cho trước và $k\neq 0;10a+9k\neq 0$
giải:
lấy (1) trừ (2):
$ky^{2}-3kxy+kx+ky=0$
$\Leftrightarrow y^{2}+y=x(3y-1)$
*$y=\frac{1}{3}$$\Rightarrow$pt vô nghiệm!
*$y\neq \frac{1}{3}$
$\Rightarrow x= \frac{y^{2}+y}{3y-1}$(*)
thay vào (2):
$a\frac{y^{2}+y}{3y-1}(\frac{y^{2}+y}{3y-1}-1)+(a+k)y(y-1)=0$
$\Leftrightarrow y(y-1)(a\frac{y^{2}-1}{(3y-1)^{2}}+a+k)=0$
$\Leftrightarrow$y=0;y=1 hoặc $(10a+9k)y^{2}-6(a+k)y+k=0$
+y=0$\Rightarrow x=0$
+y=1$\Rightarrow y=1$
+ $(10a+9k)y^{2}-6(a+k)y+k=0$
$\Delta '=9(a+k)^{2}-(10a+9k)(k)$
$y_1= \frac{3(a+k)+\sqrt{\Delta '}}{10a+9k}$thay lại y vào(*), ta tìm được 1 nghiệm $x_1$!

$y_2= \frac{3(a+k)-\sqrt{\Delta '}}{10a+9k}$thay lại y vào(*), ta tìm được 1 nghiệm $x_2$!
vậy pt có 4 nghiệm:(0;0);(1;1);$(x_1;y_1);(x_2;y_2)$

Điểm mở rộng 10

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 25-10-2012 - 23:17
Chấm bài

[luuxuan9x]

Giải hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y = {x^2} + 3xy + {y^2} \\
{x^2} + 2{y^2} = x + 2y \\
\end{array} \right.$$

Toán thủ ra đề
longqnh

Mở rông.

Ta xét hệ tổng quát của hệ trên $\left\{\begin{matrix} a_1x+a_2y=b_1x^2+b_2xy+b_3y^2 (1)\\ a_3x^2+a_4xy+a_5y^2=b_4x+b_5y \end{matrix}\right.(2)$

Nhân thấy hệ có 1 nghiệm cơ bản là (0;0).

Xét $x\neq 0,y\neq 0$

Nhân (1) ,(2) vế theo vế ta được $(a_1x+a_2y)(a_3x^2+a_4xy+a_5y^2)=(b_4x+b_5y)(b_1x^2+b_2xy+b_3y^2)$

<=>$(a_1a_3-b_1b_4)x^3+(a_2a_3-a_1a_4-b_2b_4-b_1b_5)x^2y+(a_2a_4+a_1a_5-b_3b_4-b_2b_5)xy^2+(a_2a_5-b_3b_5)y^3=0$

<=>$(a_1a_3-b_1b_4)(\frac{x}{y})^3+(a_2a_3-a_1a_4-b_2b_4-b_1b_5)(\frac{x}{y})^{2}+(a_2a_4+a_1a_5-b_3b_4-b_2b_5)(\frac{x}{y})+(a_2a_5-b_3b_5)=0$ (*)

Đặt $t=\frac{x}{y}$

PT (*) thành $(a_1a_3-b_1b_4)t^3+(a_2a_3-a_1a_4-b_2b_4-b_1b_5)t^{2}+(a_2a_4+a_1a_5-b_3b_4-b_2b_5)t+(a_2a_5-b_3b_5)=0$(**)

Đến đây tùy bài cho số "đẹp" hay "xấu" để giải.

Nếu "đẹp" như bài này thì dễ, nhưng nếu "xấu" thì phải giải bằng phương pháp nghiệm Cardano hoặc thế lượng giác.


Điểm mở rộng 10

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 25-10-2012 - 23:18
Chấm bài

[BoFaKe]

Mở rộng 2:Đây là một ví dụ áp dụng phương pháp trên ạ.
Bài toán:
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} 3x^4=11y^4-93\\ 6x^5-17y^5-430x+476y=0 \end{matrix}\right.$(donghaidhtt)
Giải:
Xét $x=0$ thì hệ vô nghiệm.
Xét $y=0$ thì hệ vô nghiệm,
vậy $x,y\neq 0$.Đặt $y=kx$ ( với $k\neq 0$) thay vào ta sẽ có một hệ mới:
$$\left\{\begin{matrix} 3x^{4}=11k^{4}x^{4}-93 & & \\ 6x^{8}-17x^{5}-430x+476kx=0 & & \end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow $$
$$\left\{\begin{matrix} x^{4}=\frac{-93}{3-11k^{4}} & & \\ x^{4}= \frac{430-476k}{6-17k^{5}} & & \end{matrix}\right.$$
Điều kiện :$3-11k^{4}< 0;430-476k\neq 0;6-17k^{5}\neq 0$;$430-476k$ và $6-17k^{5}$ cùng dấu.
Từ đó ta đi giải phương trình
$\frac{-93}{3-11k^{4}}=\frac{430-476k}{6-17k^{5}}$
Biến đổi tiếp ta sẽ có được $3655k^{5}-4730k^{4}-1428k+1848=0$
Phương trình có 3 nghiệm là
$k= \frac{22}{17}\vee k= -\sqrt[4]{\frac{21}{215}}.\sqrt{2}\vee k= \sqrt[4]{\frac{21}{215}}.\sqrt{2}$.Đối chiếu với điều kiện ta sẽ thấy thõa mãn.
Từ đây ta sẽ tính tiếp được $x$ và $y$.

Điểm mở rộng 5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 25-10-2012 - 23:19
Chấm bài

[minh29995]

Mở rộng: Giải hệ PT có dạng:
$\left\{\begin{matrix} ax+by=cx^2+dxy+ey^2\\ mx+ny=px^2+qxy+ry^2 \end{matrix}\right.$
TH1:
$\left\{\begin{matrix} mx+ny=0\\ px^2+qxy+ry^2=0 \end{matrix}\right.$
Thế PT đầu vào PT dưới ta giải đc nghiệm x=y=0 và nghiệm khác (nếu có)
TH2:
$\left\{\begin{matrix} mx+ny\neq 0\\ px^2+qxy+ry^2\neq 0 \end{matrix}\right.$ (1)
Ta có:
$ax+by=cx^2+dxy+ey^2$
$\Leftrightarrow (ax+by)(px^2+qxy+ry^2)=(mx+ny)(cx^2+dxy+ey^2)$
$\Leftrightarrow (ap-mc)x^3+(br-ne)y^3+(aq+bp-md-cn)x^2y+(ar+bq-nd-me)y^2x=0$ (*)
Nhận thấy từ (1) suy ra $x,y \neq 0$
Chia PT (*) cho $y^3$ và đặt $\frac{x}{y}=t$ ta được:
$\Leftrightarrow (ap-mc)t^3+(br-ne)+(aq+bp-md-cn)t^2+(ar+bq-nd-me)t=0$
Giải phương trình trên ta được nghiệm t thỏa mãn.. Khi đó:
$x=ty$ Thay vào hệ suy ra nghiệm x,y thỏa mãn!


Điểm mở rộng 10

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 25-10-2012 - 23:20
Chấm bài

[minh29995]

Cách 2:
Từ hệ suy ra:
$3xy-y^2=x+y$
$\Leftrightarrow (3y-1)x=y^2+y$
Với $y=\frac{1}{3}$ thì PT trên vô nghiệm.
Với $y\neq \frac{1}{3}$ thì ta có:
$\Leftrightarrow x=\frac{y^2+y}{3y-1}$
Thế vào hệ ta được:
$(\frac{y^2+y}{3y-1})+2y^2=\frac{y^2+y}{3y-1}+2y$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=0\\ 19y^3-31y^2+13y-1=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=0\\ y=1 \\y=\frac{1}{19}(6-\sqrt{17}) \\ y=\frac{1}{19}(6+\sqrt{17}) \end{bmatrix}$
Thay vào suy ra hệ đã cho có 4 cặp nghiệm
$x=y=0$ ; $x=y=1$; $\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{38}(23-7\sqrt{17})\\ y=\frac{1}{19}(6-\sqrt{17}) \end{matrix}\right.$;
$\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{38}(23+7\sqrt{17})\\ y=\frac{1}{19}(6+\sqrt{17}) \end{matrix}\right.$

Điểm cách 10

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 25-10-2012 - 23:21
Chấm bài