Chủ đề này có 1 trả lời

[L Lawliet]

Bài toán: Cho dãy số $\left ( u_{n} \right )$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_{1}=\sqrt{2} \\ u_{n+1}=\dfrac{u_{n}+\sqrt{2}-1}{\left ( 1-\sqrt{2} \right )u_{n}+1} & \end{matrix}\right.$. Tính $u_{2012}$.

[hxthanh]

Bài toán: Cho dãy số $\left ( u_{n} \right )$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_{1}=\sqrt{2} \\ u_{n+1}=\dfrac{u_{n}+\sqrt{2}-1}{\left ( 1-\sqrt{2} \right )u_{n}+1} & \end{matrix}\right.$. Tính $u_{2012}$.

Đặt $u_1=\tan \alpha$

Để ý rằng: $\tan \dfrac{\pi}{8}=\sqrt 2-1$

Ta có:

$u_2=\dfrac{u_1+\sqrt 2-1}{1+(1-\sqrt 2)u_1}=\dfrac{\tan\alpha+\tan\dfrac{\pi}{8}}{1-\tan\dfrac{\pi}{8}\tan\alpha}=\tan\left(\alpha+\dfrac{\pi}{8}\right)$
...
bằng quy nạp ta chứng minh được
$u_n=\tan\left(\alpha+(n-1)\dfrac{\pi}{8}\right)$

Do đó: $u_{2012}=\tan\left(\alpha+2011\dfrac{\pi}{8}\right)=\tan\left(\alpha+251\pi+\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{8}\right)=-\cot\left(\alpha-\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{1+\cot\alpha\cot\dfrac{\pi}{8}}{\cot\alpha-\cot\dfrac{\pi}{8}}=\sqrt 2-3$