Chứng minh phương trình: $x^{x+1}=(x+1)^{x}$ có nghiệm duy nhất
#1
Đã gửi 22-10-2012 - 15:46
#2
Đã gửi 23-10-2012 - 10:17
Mình thấy phương trình trên vô nghiệm, bạn có thể chỉ ra nghiệm cho mình đc kochứng minh phương trình: $x^{x+1}=(x+1)^{x}$ có nghiệm duy nhất
<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.
.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.
#3
Đã gửi 23-10-2012 - 15:23
chứng minh phương trình: $x^{x+1}=(x+1)^{x}$ có nghiệm duy nhất
Giải thế này.
Điều kiện: $x > - 1$. Khi đó chia cả hai vế cho ${\left( {x + 1} \right)^x}$, ta được:
$$\dfrac{{{x^{x + 1}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^x}}} = 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^{x + 1}}{\left( {x + 1} \right)^{ - x}} - 1 = 0,\,\forall x > - 1$$
Ta có: $$f\left( 0 \right) = - 1;f\left( n \right) > 0 \Rightarrow f\left( 0 \right)f\left( n \right) < 0\,\,\,\left( {n \geqslant 3} \right)$$
Suy ra phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhấ một nghiệm ${x_0} \in \left[ {0;n} \right]\,\,\left( {n \geqslant 3} \right)$
Mặt khác: $f'\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \left( {0;n} \right)$ nên $f\left( x \right)$ tăng trên $\left[ {0;n} \right]$. Từ đó nghiệm ${x_0}$ là nghiệm duy nhất.
Xem chi tiết.
- dangerous_nicegirl yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh