Chủ đề này có 1 trả lời

[Nguyễn Xuân Trung]

$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{\sqrt {1 + 2{x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 2{y^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {1 + 2xy} }}\\
\sqrt {x(1 - 2x)} + \sqrt {y(1 - 2y)} = \frac{2}{3}
\end{array} \right.$$

[Crystal]

$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{\sqrt {1 + 2{x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 2{y^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {1 + 2xy} }}\\
\sqrt {x(1 - 2x)} + \sqrt {y(1 - 2y)} = \frac{2}{3}
\end{array} \right.$$

Sử dụng BĐT:

Ta có: \[\frac{1}{{\sqrt {1 + 2{x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 2{y^2}} }} \le \frac{2}{{\sqrt {1 + 2xy} }}\,\,\,\,\left( 1 \right)\]
Bạn tự chứng minh $(1)$ nhé.

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x = y$, thế vào phương trình thứ hai: \[\sqrt {x\left( {1 - 2{\rm{x}}} \right)} + \sqrt {x\left( {1 - 2{\rm{x}}} \right)} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \sqrt {x\left( {1 - 2{\rm{x}}} \right)} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x\left( {1 - 2{\rm{x}}} \right) = \frac{1}{9}\]

\[ \Leftrightarrow 18{{\rm{x}}^2} - 9{\rm{x}} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y = \frac{1}{3}\\
x = y = \frac{1}{6}
\end{array} \right.\]