Chủ đề này có 1 trả lời

[NLT]

Cho dãy số $(u_n)$ thỏa: $u_{n+1}=u_n(1-u_n)$
Tìm $u_1$ để dãy$(u_n)$ hội tụ
___
NLT

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Giả sử $u_2 < 0 \Rightarrow u_3-u_2 = -u_2^2 < 0 $ hay $u_3<u_2<0$ 

... Suy ra $u_n$ giảm ngặt , giả sử $u_n$ bị chặn dưới , khi đó $\exists \lim u_n = L$

$\Leftrightarrow L=L(1-L) \Leftrightarrow L=0 $ ( vô lý vì $u_n$ giảm và $u_n<0$).

Vậy $u_2 \geq 0 \Leftrightarrow u_1(1-u_1) \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq u_1 \leq 1$ (*)

Ta chứng minh (*) là điều kiện cần và đủ để $u_n$ có giới hạn hữu hạn . 

Thật vây ( không xét trường hợp đơn giản là $u_1=0;1$) 

$u_2 =u_1(1-u_1) > 0 ; u_2 -u_1 = -u_1^2 < 0$ hay $u_2<u_1<1 \Rightarrow 0<u_2<u_1<1$

...

Vậy ta có $u_n$ giảm thật sự và bị chặn dưới bởi 0 $\Leftrightarrow \exists \lim u_n = L \Leftrightarrow L = 0 $ ( thoả mãn ) 

Vậy (*) là điều kiện cần và đủ để $u_n$ hội tụ , điều phải chứng minh .