Đến nội dung

Hình ảnh

Tính tổng : $S= C_{2012}^{0}+C_{2012}^{4}+C_{2012}^{8} +...+C_{2012}^{2008} +C_{2012}^{2012}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
thien than cua gio

thien than cua gio

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
Tính tổng :
$S= C_{2012}^{0}+C_{2012}^{4}+C_{2012}^{8} +...+C_{2012}^{2008} +C_{2012}^{2012}$

#2
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3903 Bài viết
Ta có:
$(1+x)^{4n}=C_{4n}^0+C_{4n}^1x+C_{4n}^2x^2+...+C_{4n}^{4n}x^{4n}\quad (1)$

Trong $(1)$ cho $x=1$ ta được:
$C_{4n}^0+C_{4n}^1+C_{4n}^2+...+C_{4n}^{4n}=2^{4n}$
Trong $(1)$ lại cho $x=-1$ ta được:
$C_{4n}^0-C_{4n}^1+C_{4n}^2-...+C_{4n}^{4n}=0$
Suy ra $C_{4n}^0+C_{4n}^2+C_{4n}^4+...+C_{4n}^{4n}=C_{4n}^1+C_{4n}^3+...+C_{4n}^{4n-1}=2^{4n-1}\quad(2)$

Xét tiếp:
$(1+i)^{4n}=(C_{4n}^0-C_{4n}^2+C_{4n}^4-...-C_{4n}^{4n-2}+C_{4n}^{4n})+i(C_{4n}^1-C_{4n}^3+C_{4n}^5-...-C_{4n}^{4n-1})$

Suy ra $C_{4n}^0-C_{4n}^2+C_{4n}^4-...-C_{4n}^{4n-2}+C_{4n}^{4n}=\Re\left[(1+i)^{4n}\right] $

Ta có:
$(1+i)^{4n}=\left[2^{\frac{1}{2}}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\right]^{4n}=2^{2n}\left(\cos\left(\frac{4n\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{4n\pi}{4}\right)\right)=(-1)^n2^{2n}$
Do đó ta có
$C_{4n}^0-C_{4n}^2+C_{4n}^4-...-C_{4n}^{4n-2}+C_{4n}^{4n}=(-1)^n2^{2n}\quad(3)$

Cộng vế theo vế hai đẳng thức $(2)$ và $(3)$ ta được

$2\left(C_{4n}^0+C_{4n}^4+...+C_{4n}^{4n}\right)=2^{4n-1}+(-1)^n2^{2n}$

Vậy $C_{4n}^0+C_{4n}^4+...+C_{4n}^{4n}=2^{4n-2}+(-1)^n2^{2n-1}$

Thay $n=503$ ta được ...

#3
NS2T

NS2T

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
Xét khai triển sau :

$(1+x)^{2012}=C^0_{2012}+xC^1_{2012}+x^2C^2_{2012}+. . .+x^{2012}C^{2012}_{2012}$$(1+x)^{2012}=C^0_{2012}+xC^1_{2012}+x^2C^2_{2012}+. . .+x^{2012}C^{2012}_{2012}$

Thay x=1 , ta có :

$(1+1)^{2012}=C^0_{2012}+C^1_{2012}+C^2_{2012}+. . .+C^{2012}_{2012}$

Thay x=a , ta có :

$(1+a)^{2012}=C^0_{2012}+aC^1_{2012}+a^2C^2_{2012}+. . .+a^{2012}C^{2012}_{2012}$

Thay $x=a^2$ , ta có :

$(1+a^2)^{2012}=C^0_{2012}+a^2C^1_{2012}+a^4C^2_{2012}+. . .+a^{4024}C^{2012}_{2012}$

Thay $x=a^3$ , ta có :

$(1+a^3)^{2012}=C^0_{2012}+a^3C^1_{2012}+a^6C^2_{2012}+. . .+a^{6036}C^{2012}_{2012}$

Lấy $a^4=1\Leftrightarrow (a-1)(a^3+a^2+a+1)=0$ , cộng lần lượt tất cả các vế của từng phương trình trên ta có :

$2^{2012}+(1+a)^{2012}+(1+a^2)^{2012}+(1+a^3)^{2012}=4(C^0_{2012}+C^4_{2012}+. . .+C^{2012}_{2012})$

(Vì khi cộng vào thì các hạng tử không chứa $C^{4k}_{2012}$ sẽ bị triệt tiêu )

Ta có :
$1+a=1+cos(\frac{\Pi }{2})+isin(\frac{\Pi }{2})=2cos(\frac{\Pi }{4})(cos(\frac{\Pi }{4})+isin(\frac{\Pi }{4}))$ nên ta có :

$(1+a)^{2012}=2^{2012}cos(\frac{\Pi }{4})^{2012}(cos(503\Pi )+isin(503\Pi))=-2^{1006}$

$1+a^2=1+cos(\Pi )+isin(\Pi )=0$

$1+a^3=1+cos(\frac{3\Pi }{2} )+isin(\frac{3\Pi }{2})=2cos\frac{3\Pi }{4}(cos\frac{3\Pi }{4}+isin\frac{3\Pi }{4})\Rightarrow (1+a^3)^{2012}=-2^{1006}$

Vậy $S=2^{2010}-2^{1005}$

@@~ : Hớ , cơm đưa tới miệng rùi còn vãi . . .

#4
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Bài này dùng công cụ số phức :)
Đặt $$A=C_{2012}^0-C_{2012}^2+C_{2012}^4-...+C_{2012}^{2008}-C_{2012}^{2010}+C_{2012}^{2012}$$
Xét khai triển $(1+i)^{2012}=\sum_{k=0}^{2012}C_{2012}^k.i^k $
$$=(C_{2012}^0-C_{2012}^2+C_{2012}^4-...+C_{2012}^{2012})+i(C_{2012}^1-C_{2012}^3+...-C_{2012}^{2011})$$
Lại có $(1+i)^{2012}= -2^{1006}$
So sánh phần thực phần ảo ta có $A= -2^{1006}$
Xét khai triển $(1+x)^{2012}=\sum_{k=0}^{2012}C_{2012}^k.x^k (*)$
Từ (*) thay $x=1$ và $x=-1$ vào ta có
$$C_{2012}^0+C_{2012}^1+...+C_{2012}^{2012}=2^{2012}$$
$$C_{2012}^0-C_{2012}^1+...+C_{2012}^{2012}=0$$
Dễ dàng thu được $C_{2012}^0+C_{2012}^2+...+C_{2012}^{2012}=2^{2011}$
Do đó $\boxed{S=2^{2010}-2^{1005}}$

Sao em ra khác anh vậy :-SS
_________________
hxthanh@: Thì kết quả của em đúng mà! :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 01-11-2012 - 18:55

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#5
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 928 Bài viết

Tính tổng :
$S= C_{2012}^{0}+C_{2012}^{4}+C_{2012}^{8} +...+C_{2012}^{2008} +C_{2012}^{2012}$

Ten years later...
Em liều mạng đề xuất 1 lời giải hơi khác tí xíu :
Xét :
$f(x)=(1+x)^{2012}$
Mọi người đều biết là bốn giá trị của căn bậc 4 của đơn vị là $1, -1, i $ và $ -i.$ Dễ thấy:
$f(1)=2^{2012},$
$f(-1)=0,$
$f(i)=(-i)=-2^{1006}.$
Vậy, theo định lý RUF thì tổng đã cho là :
$S=\frac {f(1)+f(-1)+f(i)+f(-i)}{4}=\frac {2^{2012}-2^{1007}}{4}=\boxed {2^{2010}-2^{1005}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 29-09-2022 - 13:58

<p>
advice
Once is chance. Twice is coincidence. Thrice is a pattern.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh