Tính tổng :
$S= C_{2012}^{0}+C_{2012}^{4}+C_{2012}^{8} +...+C_{2012}^{2008} +C_{2012}^{2012}$
Tính tổng : $S= C_{2012}^{0}+C_{2012}^{4}+C_{2012}^{8} +...+C_{2012}^{2008} +C_{2012}^{2012}$
Bắt đầu bởi thien than cua gio, 01-11-2012 - 17:44
#2
Đã gửi 01-11-2012 - 18:40
Ta có:
$(1+x)^{4n}=C_{4n}^0+C_{4n}^1x+C_{4n}^2x^2+...+C_{4n}^{4n}x^{4n}\quad (1)$
Trong $(1)$ cho $x=1$ ta được:
$C_{4n}^0+C_{4n}^1+C_{4n}^2+...+C_{4n}^{4n}=2^{4n}$
Trong $(1)$ lại cho $x=-1$ ta được:
$C_{4n}^0-C_{4n}^1+C_{4n}^2-...+C_{4n}^{4n}=0$
Suy ra $C_{4n}^0+C_{4n}^2+C_{4n}^4+...+C_{4n}^{4n}=C_{4n}^1+C_{4n}^3+...+C_{4n}^{4n-1}=2^{4n-1}\quad(2)$
Xét tiếp:
$(1+i)^{4n}=(C_{4n}^0-C_{4n}^2+C_{4n}^4-...-C_{4n}^{4n-2}+C_{4n}^{4n})+i(C_{4n}^1-C_{4n}^3+C_{4n}^5-...-C_{4n}^{4n-1})$
Suy ra $C_{4n}^0-C_{4n}^2+C_{4n}^4-...-C_{4n}^{4n-2}+C_{4n}^{4n}=\Re\left[(1+i)^{4n}\right] $
Ta có:
$(1+i)^{4n}=\left[2^{\frac{1}{2}}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\right]^{4n}=2^{2n}\left(\cos\left(\frac{4n\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{4n\pi}{4}\right)\right)=(-1)^n2^{2n}$
Do đó ta có
$C_{4n}^0-C_{4n}^2+C_{4n}^4-...-C_{4n}^{4n-2}+C_{4n}^{4n}=(-1)^n2^{2n}\quad(3)$
Cộng vế theo vế hai đẳng thức $(2)$ và $(3)$ ta được
$2\left(C_{4n}^0+C_{4n}^4+...+C_{4n}^{4n}\right)=2^{4n-1}+(-1)^n2^{2n}$
Vậy $C_{4n}^0+C_{4n}^4+...+C_{4n}^{4n}=2^{4n-2}+(-1)^n2^{2n-1}$
Thay $n=503$ ta được ...
$(1+x)^{4n}=C_{4n}^0+C_{4n}^1x+C_{4n}^2x^2+...+C_{4n}^{4n}x^{4n}\quad (1)$
Trong $(1)$ cho $x=1$ ta được:
$C_{4n}^0+C_{4n}^1+C_{4n}^2+...+C_{4n}^{4n}=2^{4n}$
Trong $(1)$ lại cho $x=-1$ ta được:
$C_{4n}^0-C_{4n}^1+C_{4n}^2-...+C_{4n}^{4n}=0$
Suy ra $C_{4n}^0+C_{4n}^2+C_{4n}^4+...+C_{4n}^{4n}=C_{4n}^1+C_{4n}^3+...+C_{4n}^{4n-1}=2^{4n-1}\quad(2)$
Xét tiếp:
$(1+i)^{4n}=(C_{4n}^0-C_{4n}^2+C_{4n}^4-...-C_{4n}^{4n-2}+C_{4n}^{4n})+i(C_{4n}^1-C_{4n}^3+C_{4n}^5-...-C_{4n}^{4n-1})$
Suy ra $C_{4n}^0-C_{4n}^2+C_{4n}^4-...-C_{4n}^{4n-2}+C_{4n}^{4n}=\Re\left[(1+i)^{4n}\right] $
Ta có:
$(1+i)^{4n}=\left[2^{\frac{1}{2}}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\right]^{4n}=2^{2n}\left(\cos\left(\frac{4n\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{4n\pi}{4}\right)\right)=(-1)^n2^{2n}$
Do đó ta có
$C_{4n}^0-C_{4n}^2+C_{4n}^4-...-C_{4n}^{4n-2}+C_{4n}^{4n}=(-1)^n2^{2n}\quad(3)$
Cộng vế theo vế hai đẳng thức $(2)$ và $(3)$ ta được
$2\left(C_{4n}^0+C_{4n}^4+...+C_{4n}^{4n}\right)=2^{4n-1}+(-1)^n2^{2n}$
Vậy $C_{4n}^0+C_{4n}^4+...+C_{4n}^{4n}=2^{4n-2}+(-1)^n2^{2n-1}$
Thay $n=503$ ta được ...
- thien than cua gio, NS2T, Mai Xuan Son và 9 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 01-11-2012 - 18:41
Xét khai triển sau :
$(1+x)^{2012}=C^0_{2012}+xC^1_{2012}+x^2C^2_{2012}+. . .+x^{2012}C^{2012}_{2012}$$(1+x)^{2012}=C^0_{2012}+xC^1_{2012}+x^2C^2_{2012}+. . .+x^{2012}C^{2012}_{2012}$
Thay x=1 , ta có :
$(1+1)^{2012}=C^0_{2012}+C^1_{2012}+C^2_{2012}+. . .+C^{2012}_{2012}$
Thay x=a , ta có :
$(1+a)^{2012}=C^0_{2012}+aC^1_{2012}+a^2C^2_{2012}+. . .+a^{2012}C^{2012}_{2012}$
Thay $x=a^2$ , ta có :
$(1+a^2)^{2012}=C^0_{2012}+a^2C^1_{2012}+a^4C^2_{2012}+. . .+a^{4024}C^{2012}_{2012}$
Thay $x=a^3$ , ta có :
$(1+a^3)^{2012}=C^0_{2012}+a^3C^1_{2012}+a^6C^2_{2012}+. . .+a^{6036}C^{2012}_{2012}$
Lấy $a^4=1\Leftrightarrow (a-1)(a^3+a^2+a+1)=0$ , cộng lần lượt tất cả các vế của từng phương trình trên ta có :
$2^{2012}+(1+a)^{2012}+(1+a^2)^{2012}+(1+a^3)^{2012}=4(C^0_{2012}+C^4_{2012}+. . .+C^{2012}_{2012})$
(Vì khi cộng vào thì các hạng tử không chứa $C^{4k}_{2012}$ sẽ bị triệt tiêu )
Ta có :
$1+a=1+cos(\frac{\Pi }{2})+isin(\frac{\Pi }{2})=2cos(\frac{\Pi }{4})(cos(\frac{\Pi }{4})+isin(\frac{\Pi }{4}))$ nên ta có :
$(1+a)^{2012}=2^{2012}cos(\frac{\Pi }{4})^{2012}(cos(503\Pi )+isin(503\Pi))=-2^{1006}$
$1+a^2=1+cos(\Pi )+isin(\Pi )=0$
$1+a^3=1+cos(\frac{3\Pi }{2} )+isin(\frac{3\Pi }{2})=2cos\frac{3\Pi }{4}(cos\frac{3\Pi }{4}+isin\frac{3\Pi }{4})\Rightarrow (1+a^3)^{2012}=-2^{1006}$
Vậy $S=2^{2010}-2^{1005}$
@@~ : Hớ , cơm đưa tới miệng rùi còn vãi . . .
$(1+x)^{2012}=C^0_{2012}+xC^1_{2012}+x^2C^2_{2012}+. . .+x^{2012}C^{2012}_{2012}$$(1+x)^{2012}=C^0_{2012}+xC^1_{2012}+x^2C^2_{2012}+. . .+x^{2012}C^{2012}_{2012}$
Thay x=1 , ta có :
$(1+1)^{2012}=C^0_{2012}+C^1_{2012}+C^2_{2012}+. . .+C^{2012}_{2012}$
Thay x=a , ta có :
$(1+a)^{2012}=C^0_{2012}+aC^1_{2012}+a^2C^2_{2012}+. . .+a^{2012}C^{2012}_{2012}$
Thay $x=a^2$ , ta có :
$(1+a^2)^{2012}=C^0_{2012}+a^2C^1_{2012}+a^4C^2_{2012}+. . .+a^{4024}C^{2012}_{2012}$
Thay $x=a^3$ , ta có :
$(1+a^3)^{2012}=C^0_{2012}+a^3C^1_{2012}+a^6C^2_{2012}+. . .+a^{6036}C^{2012}_{2012}$
Lấy $a^4=1\Leftrightarrow (a-1)(a^3+a^2+a+1)=0$ , cộng lần lượt tất cả các vế của từng phương trình trên ta có :
$2^{2012}+(1+a)^{2012}+(1+a^2)^{2012}+(1+a^3)^{2012}=4(C^0_{2012}+C^4_{2012}+. . .+C^{2012}_{2012})$
(Vì khi cộng vào thì các hạng tử không chứa $C^{4k}_{2012}$ sẽ bị triệt tiêu )
Ta có :
$1+a=1+cos(\frac{\Pi }{2})+isin(\frac{\Pi }{2})=2cos(\frac{\Pi }{4})(cos(\frac{\Pi }{4})+isin(\frac{\Pi }{4}))$ nên ta có :
$(1+a)^{2012}=2^{2012}cos(\frac{\Pi }{4})^{2012}(cos(503\Pi )+isin(503\Pi))=-2^{1006}$
$1+a^2=1+cos(\Pi )+isin(\Pi )=0$
$1+a^3=1+cos(\frac{3\Pi }{2} )+isin(\frac{3\Pi }{2})=2cos\frac{3\Pi }{4}(cos\frac{3\Pi }{4}+isin\frac{3\Pi }{4})\Rightarrow (1+a^3)^{2012}=-2^{1006}$
Vậy $S=2^{2010}-2^{1005}$
@@~ : Hớ , cơm đưa tới miệng rùi còn vãi . . .
- hxthanh, VNSTaipro, phatthemkem và 1 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 01-11-2012 - 18:48
Bài này dùng công cụ số phức
Đặt $$A=C_{2012}^0-C_{2012}^2+C_{2012}^4-...+C_{2012}^{2008}-C_{2012}^{2010}+C_{2012}^{2012}$$
Xét khai triển $(1+i)^{2012}=\sum_{k=0}^{2012}C_{2012}^k.i^k $
$$=(C_{2012}^0-C_{2012}^2+C_{2012}^4-...+C_{2012}^{2012})+i(C_{2012}^1-C_{2012}^3+...-C_{2012}^{2011})$$
Lại có $(1+i)^{2012}= -2^{1006}$
So sánh phần thực phần ảo ta có $A= -2^{1006}$
Xét khai triển $(1+x)^{2012}=\sum_{k=0}^{2012}C_{2012}^k.x^k (*)$
Từ (*) thay $x=1$ và $x=-1$ vào ta có
$$C_{2012}^0+C_{2012}^1+...+C_{2012}^{2012}=2^{2012}$$
$$C_{2012}^0-C_{2012}^1+...+C_{2012}^{2012}=0$$
Dễ dàng thu được $C_{2012}^0+C_{2012}^2+...+C_{2012}^{2012}=2^{2011}$
Do đó $\boxed{S=2^{2010}-2^{1005}}$
Sao em ra khác anh vậy :-SS
_________________
hxthanh@: Thì kết quả của em đúng mà!
Đặt $$A=C_{2012}^0-C_{2012}^2+C_{2012}^4-...+C_{2012}^{2008}-C_{2012}^{2010}+C_{2012}^{2012}$$
Xét khai triển $(1+i)^{2012}=\sum_{k=0}^{2012}C_{2012}^k.i^k $
$$=(C_{2012}^0-C_{2012}^2+C_{2012}^4-...+C_{2012}^{2012})+i(C_{2012}^1-C_{2012}^3+...-C_{2012}^{2011})$$
Lại có $(1+i)^{2012}= -2^{1006}$
So sánh phần thực phần ảo ta có $A= -2^{1006}$
Xét khai triển $(1+x)^{2012}=\sum_{k=0}^{2012}C_{2012}^k.x^k (*)$
Từ (*) thay $x=1$ và $x=-1$ vào ta có
$$C_{2012}^0+C_{2012}^1+...+C_{2012}^{2012}=2^{2012}$$
$$C_{2012}^0-C_{2012}^1+...+C_{2012}^{2012}=0$$
Dễ dàng thu được $C_{2012}^0+C_{2012}^2+...+C_{2012}^{2012}=2^{2011}$
Do đó $\boxed{S=2^{2010}-2^{1005}}$
Sao em ra khác anh vậy :-SS
_________________
hxthanh@: Thì kết quả của em đúng mà!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 01-11-2012 - 18:55
- hxthanh, thien than cua gio, NS2T và 3 người khác yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#5
Đã gửi 27-09-2022 - 18:32
Ten years later...Tính tổng :
$S= C_{2012}^{0}+C_{2012}^{4}+C_{2012}^{8} +...+C_{2012}^{2008} +C_{2012}^{2012}$
Em liều mạng đề xuất 1 lời giải hơi khác tí xíu :
Xét :
$f(x)=(1+x)^{2012}$
Mọi người đều biết là bốn giá trị của căn bậc 4 của đơn vị là $1, -1, i $ và $ -i.$ Dễ thấy:
$f(1)=2^{2012},$
$f(-1)=0,$
$f(i)=(-i)=-2^{1006}.$
Vậy, theo định lý RUF thì tổng đã cho là :
$S=\frac {f(1)+f(-1)+f(i)+f(-i)}{4}=\frac {2^{2012}-2^{1007}}{4}=\boxed {2^{2010}-2^{1005}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 29-09-2022 - 13:58
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh