Tính tổng :
$S= C_{2012}^{0}+C_{2012}^{4}+C_{2012}^{8} +...+C_{2012}^{2008} +C_{2012}^{2012}$
Tính tổng : $S= C_{2012}^{0}+C_{2012}^{4}+C_{2012}^{8} +...+C_{2012}^{2008} +C_{2012}^{2012}$
Bắt đầu bởi thien than cua gio, 01-11-2012 - 17:44
#2
Đã gửi 01-11-2012 - 18:40
Ta có:
$(1+x)^{4n}=C_{4n}^0+C_{4n}^1x+C_{4n}^2x^2+...+C_{4n}^{4n}x^{4n}\quad (1)$
Trong $(1)$ cho $x=1$ ta được:
$C_{4n}^0+C_{4n}^1+C_{4n}^2+...+C_{4n}^{4n}=2^{4n}$
Trong $(1)$ lại cho $x=-1$ ta được:
$C_{4n}^0-C_{4n}^1+C_{4n}^2-...+C_{4n}^{4n}=0$
Suy ra $C_{4n}^0+C_{4n}^2+C_{4n}^4+...+C_{4n}^{4n}=C_{4n}^1+C_{4n}^3+...+C_{4n}^{4n-1}=2^{4n-1}\quad(2)$
Xét tiếp:
$(1+i)^{4n}=(C_{4n}^0-C_{4n}^2+C_{4n}^4-...-C_{4n}^{4n-2}+C_{4n}^{4n})+i(C_{4n}^1-C_{4n}^3+C_{4n}^5-...-C_{4n}^{4n-1})$
Suy ra $C_{4n}^0-C_{4n}^2+C_{4n}^4-...-C_{4n}^{4n-2}+C_{4n}^{4n}=\Re\left[(1+i)^{4n}\right] $
Ta có:
$(1+i)^{4n}=\left[2^{\frac{1}{2}}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\right]^{4n}=2^{2n}\left(\cos\left(\frac{4n\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{4n\pi}{4}\right)\right)=(-1)^n2^{2n}$
Do đó ta có
$C_{4n}^0-C_{4n}^2+C_{4n}^4-...-C_{4n}^{4n-2}+C_{4n}^{4n}=(-1)^n2^{2n}\quad(3)$
Cộng vế theo vế hai đẳng thức $(2)$ và $(3)$ ta được
$2\left(C_{4n}^0+C_{4n}^4+...+C_{4n}^{4n}\right)=2^{4n-1}+(-1)^n2^{2n}$
Vậy $C_{4n}^0+C_{4n}^4+...+C_{4n}^{4n}=2^{4n-2}+(-1)^n2^{2n-1}$
Thay $n=503$ ta được ...
$(1+x)^{4n}=C_{4n}^0+C_{4n}^1x+C_{4n}^2x^2+...+C_{4n}^{4n}x^{4n}\quad (1)$
Trong $(1)$ cho $x=1$ ta được:
$C_{4n}^0+C_{4n}^1+C_{4n}^2+...+C_{4n}^{4n}=2^{4n}$
Trong $(1)$ lại cho $x=-1$ ta được:
$C_{4n}^0-C_{4n}^1+C_{4n}^2-...+C_{4n}^{4n}=0$
Suy ra $C_{4n}^0+C_{4n}^2+C_{4n}^4+...+C_{4n}^{4n}=C_{4n}^1+C_{4n}^3+...+C_{4n}^{4n-1}=2^{4n-1}\quad(2)$
Xét tiếp:
$(1+i)^{4n}=(C_{4n}^0-C_{4n}^2+C_{4n}^4-...-C_{4n}^{4n-2}+C_{4n}^{4n})+i(C_{4n}^1-C_{4n}^3+C_{4n}^5-...-C_{4n}^{4n-1})$
Suy ra $C_{4n}^0-C_{4n}^2+C_{4n}^4-...-C_{4n}^{4n-2}+C_{4n}^{4n}=\Re\left[(1+i)^{4n}\right] $
Ta có:
$(1+i)^{4n}=\left[2^{\frac{1}{2}}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\right]^{4n}=2^{2n}\left(\cos\left(\frac{4n\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{4n\pi}{4}\right)\right)=(-1)^n2^{2n}$
Do đó ta có
$C_{4n}^0-C_{4n}^2+C_{4n}^4-...-C_{4n}^{4n-2}+C_{4n}^{4n}=(-1)^n2^{2n}\quad(3)$
Cộng vế theo vế hai đẳng thức $(2)$ và $(3)$ ta được
$2\left(C_{4n}^0+C_{4n}^4+...+C_{4n}^{4n}\right)=2^{4n-1}+(-1)^n2^{2n}$
Vậy $C_{4n}^0+C_{4n}^4+...+C_{4n}^{4n}=2^{4n-2}+(-1)^n2^{2n-1}$
Thay $n=503$ ta được ...
- thien than cua gio, NS2T, Mai Xuan Son và 9 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 01-11-2012 - 18:41
Xét khai triển sau :
$(1+x)^{2012}=C^0_{2012}+xC^1_{2012}+x^2C^2_{2012}+. . .+x^{2012}C^{2012}_{2012}$$(1+x)^{2012}=C^0_{2012}+xC^1_{2012}+x^2C^2_{2012}+. . .+x^{2012}C^{2012}_{2012}$
Thay x=1 , ta có :
$(1+1)^{2012}=C^0_{2012}+C^1_{2012}+C^2_{2012}+. . .+C^{2012}_{2012}$
Thay x=a , ta có :
$(1+a)^{2012}=C^0_{2012}+aC^1_{2012}+a^2C^2_{2012}+. . .+a^{2012}C^{2012}_{2012}$
Thay $x=a^2$ , ta có :
$(1+a^2)^{2012}=C^0_{2012}+a^2C^1_{2012}+a^4C^2_{2012}+. . .+a^{4024}C^{2012}_{2012}$
Thay $x=a^3$ , ta có :
$(1+a^3)^{2012}=C^0_{2012}+a^3C^1_{2012}+a^6C^2_{2012}+. . .+a^{6036}C^{2012}_{2012}$
Lấy $a^4=1\Leftrightarrow (a-1)(a^3+a^2+a+1)=0$ , cộng lần lượt tất cả các vế của từng phương trình trên ta có :
$2^{2012}+(1+a)^{2012}+(1+a^2)^{2012}+(1+a^3)^{2012}=4(C^0_{2012}+C^4_{2012}+. . .+C^{2012}_{2012})$
(Vì khi cộng vào thì các hạng tử không chứa $C^{4k}_{2012}$ sẽ bị triệt tiêu )
Ta có :
$1+a=1+cos(\frac{\Pi }{2})+isin(\frac{\Pi }{2})=2cos(\frac{\Pi }{4})(cos(\frac{\Pi }{4})+isin(\frac{\Pi }{4}))$ nên ta có :
$(1+a)^{2012}=2^{2012}cos(\frac{\Pi }{4})^{2012}(cos(503\Pi )+isin(503\Pi))=-2^{1006}$
$1+a^2=1+cos(\Pi )+isin(\Pi )=0$
$1+a^3=1+cos(\frac{3\Pi }{2} )+isin(\frac{3\Pi }{2})=2cos\frac{3\Pi }{4}(cos\frac{3\Pi }{4}+isin\frac{3\Pi }{4})\Rightarrow (1+a^3)^{2012}=-2^{1006}$
Vậy $S=2^{2010}-2^{1005}$
@@~ : Hớ , cơm đưa tới miệng rùi còn vãi . . .
$(1+x)^{2012}=C^0_{2012}+xC^1_{2012}+x^2C^2_{2012}+. . .+x^{2012}C^{2012}_{2012}$$(1+x)^{2012}=C^0_{2012}+xC^1_{2012}+x^2C^2_{2012}+. . .+x^{2012}C^{2012}_{2012}$
Thay x=1 , ta có :
$(1+1)^{2012}=C^0_{2012}+C^1_{2012}+C^2_{2012}+. . .+C^{2012}_{2012}$
Thay x=a , ta có :
$(1+a)^{2012}=C^0_{2012}+aC^1_{2012}+a^2C^2_{2012}+. . .+a^{2012}C^{2012}_{2012}$
Thay $x=a^2$ , ta có :
$(1+a^2)^{2012}=C^0_{2012}+a^2C^1_{2012}+a^4C^2_{2012}+. . .+a^{4024}C^{2012}_{2012}$
Thay $x=a^3$ , ta có :
$(1+a^3)^{2012}=C^0_{2012}+a^3C^1_{2012}+a^6C^2_{2012}+. . .+a^{6036}C^{2012}_{2012}$
Lấy $a^4=1\Leftrightarrow (a-1)(a^3+a^2+a+1)=0$ , cộng lần lượt tất cả các vế của từng phương trình trên ta có :
$2^{2012}+(1+a)^{2012}+(1+a^2)^{2012}+(1+a^3)^{2012}=4(C^0_{2012}+C^4_{2012}+. . .+C^{2012}_{2012})$
(Vì khi cộng vào thì các hạng tử không chứa $C^{4k}_{2012}$ sẽ bị triệt tiêu )
Ta có :
$1+a=1+cos(\frac{\Pi }{2})+isin(\frac{\Pi }{2})=2cos(\frac{\Pi }{4})(cos(\frac{\Pi }{4})+isin(\frac{\Pi }{4}))$ nên ta có :
$(1+a)^{2012}=2^{2012}cos(\frac{\Pi }{4})^{2012}(cos(503\Pi )+isin(503\Pi))=-2^{1006}$
$1+a^2=1+cos(\Pi )+isin(\Pi )=0$
$1+a^3=1+cos(\frac{3\Pi }{2} )+isin(\frac{3\Pi }{2})=2cos\frac{3\Pi }{4}(cos\frac{3\Pi }{4}+isin\frac{3\Pi }{4})\Rightarrow (1+a^3)^{2012}=-2^{1006}$
Vậy $S=2^{2010}-2^{1005}$
@@~ : Hớ , cơm đưa tới miệng rùi còn vãi . . .
- hxthanh, VNSTaipro, phatthemkem và 1 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 01-11-2012 - 18:48
Bài này dùng công cụ số phức
Đặt $$A=C_{2012}^0-C_{2012}^2+C_{2012}^4-...+C_{2012}^{2008}-C_{2012}^{2010}+C_{2012}^{2012}$$
Xét khai triển $(1+i)^{2012}=\sum_{k=0}^{2012}C_{2012}^k.i^k $
$$=(C_{2012}^0-C_{2012}^2+C_{2012}^4-...+C_{2012}^{2012})+i(C_{2012}^1-C_{2012}^3+...-C_{2012}^{2011})$$
Lại có $(1+i)^{2012}= -2^{1006}$
So sánh phần thực phần ảo ta có $A= -2^{1006}$
Xét khai triển $(1+x)^{2012}=\sum_{k=0}^{2012}C_{2012}^k.x^k (*)$
Từ (*) thay $x=1$ và $x=-1$ vào ta có
$$C_{2012}^0+C_{2012}^1+...+C_{2012}^{2012}=2^{2012}$$
$$C_{2012}^0-C_{2012}^1+...+C_{2012}^{2012}=0$$
Dễ dàng thu được $C_{2012}^0+C_{2012}^2+...+C_{2012}^{2012}=2^{2011}$
Do đó $\boxed{S=2^{2010}-2^{1005}}$
Sao em ra khác anh vậy :-SS
_________________
hxthanh@: Thì kết quả của em đúng mà!
Đặt $$A=C_{2012}^0-C_{2012}^2+C_{2012}^4-...+C_{2012}^{2008}-C_{2012}^{2010}+C_{2012}^{2012}$$
Xét khai triển $(1+i)^{2012}=\sum_{k=0}^{2012}C_{2012}^k.i^k $
$$=(C_{2012}^0-C_{2012}^2+C_{2012}^4-...+C_{2012}^{2012})+i(C_{2012}^1-C_{2012}^3+...-C_{2012}^{2011})$$
Lại có $(1+i)^{2012}= -2^{1006}$
So sánh phần thực phần ảo ta có $A= -2^{1006}$
Xét khai triển $(1+x)^{2012}=\sum_{k=0}^{2012}C_{2012}^k.x^k (*)$
Từ (*) thay $x=1$ và $x=-1$ vào ta có
$$C_{2012}^0+C_{2012}^1+...+C_{2012}^{2012}=2^{2012}$$
$$C_{2012}^0-C_{2012}^1+...+C_{2012}^{2012}=0$$
Dễ dàng thu được $C_{2012}^0+C_{2012}^2+...+C_{2012}^{2012}=2^{2011}$
Do đó $\boxed{S=2^{2010}-2^{1005}}$
Sao em ra khác anh vậy :-SS
_________________
hxthanh@: Thì kết quả của em đúng mà!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 01-11-2012 - 18:55
- hxthanh, thien than cua gio, NS2T và 3 người khác yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#5
Đã gửi 27-09-2022 - 18:32
Ten years later...Tính tổng :
$S= C_{2012}^{0}+C_{2012}^{4}+C_{2012}^{8} +...+C_{2012}^{2008} +C_{2012}^{2012}$
Em liều mạng đề xuất 1 lời giải hơi khác tí xíu :
Xét :
$f(x)=(1+x)^{2012}$
Mọi người đều biết là bốn giá trị của căn bậc 4 của đơn vị là $1, -1, i $ và $ -i.$ Dễ thấy:
$f(1)=2^{2012},$
$f(-1)=0,$
$f(i)=(-i)=-2^{1006}.$
Vậy, theo định lý RUF thì tổng đã cho là :
$S=\frac {f(1)+f(-1)+f(i)+f(-i)}{4}=\frac {2^{2012}-2^{1007}}{4}=\boxed {2^{2010}-2^{1005}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 29-09-2022 - 13:58
<p>
advice
Once is chance. Twice is coincidence. Thrice is a pattern.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh