Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm các giá trị $n$ nguyên dương sao cho đa thức $x^n+4$ khả quy trên $Z[x]$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 02-11-2012 - 00:32

Tìm các giá trị $n$ nguyên dương sao cho đa thức $x^n+4$ khả quy trên $Z[x]$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#2 loigiailanhlung

loigiailanhlung

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thpt chuyên KHTN Hà Nội
  • Sở thích:Solving a problem in mathematical

Đã gửi 12-07-2015 - 19:56

Tìm các giá trị $n$ nguyên dương sao cho đa thức $x^n+4$ khả quy trên $Z[x]$

Ta có các nghiệm phức của đa thức $x^n+4$ là:
$$x_k=a.z_k$$
Trong đó $a=\sqrt[n]{4}$ và $z_k=\cos{\frac{(2k+1)\pi}{n}}+i.\sin{\frac{(2k+1)\pi}{n}}; k=0,..,n-1.$
$$x_k\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \sin{\frac{(2k+1)\pi}{n}}=0 \Leftrightarrow n|2k+1$$
Mà $2k+1=1,3,..,2n-1 \Rightarrow$ chỉ có nhiều nhất 1 số k để $n|2k+1$ nên chỉ có nhiều nhất 1 nghiệm thực.

Đặt $x^n+4=P(x).Q(x)$ với P(x),Q(x) là đa thức hệ số nguyên.Có thể coi P(x) không có nghiệm thực.Vì đa thức bậc lẻ luôn có nghiệm thực nên degP(x)=2s $s\in\mathbb{Z}$ và 1<2s<n.
Ta có $|c|=a^{2s}=2^{\frac{4s}{n}}$ với c là hệ số tự do của P(x).
Vì |c||4 nên |c|=1,2,4 $\Rightarrow n=0,4s,2s$ theo đk thì chỉ có n=4s.
Vậy n chia hết cho 4 $\Rightarrow x^n+4=y^4+4=y^4+4y^2+4-4y^2=(y^2+2)^2-(2y)^2=(y^2+2y+2)(y^2-2y+2)$ trong đó y là một luỹ thừa của x.
$$\Rightarrow đpcm$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loigiailanhlung: 13-07-2015 - 15:27


#3 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 621 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-07-2015 - 09:33

Ta có các nghiệm phức của đa thức $x^n+4$ là:
$$x_k=a.z_k$$
Trong đó $a=\sqrt[n]{4}$ và $z_k=\cos{\frac{(2k+1)\pi}{n}}+i.\sin{\frac{(2k+1)\pi}{n}}; k=1,..,n.$
$$x_k\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \sin{\frac{(2k+1)\pi}{n}}=0 \Leftrightarrow 2k+1|n$$
Mà $2k+1=1,3,..,2n+1 \Rightarrow$ chỉ có nhiều nhất 1 số k để $2k+1|n$ nên chỉ có nhiều nhất 1 nghiệm thực.

Đặt $x^n+4=P(x).Q(x)$ với P(x),Q(x) là đa thức hệ số nguyên.Có thể coi P(x) không có nghiệm thực.Vì đa thức bậc lẻ luôn có nghiệm thực nên degP(x)=2s $s\in\mathbb{Z}$
Ta có $|c|=a^{2s}=2^{\frac{4s}{n}}$ với c là hệ số tự do của P(x).
Vì |c||4 nên |c|=2,4 $\Rightarrow n=4s,2s$

Mình thắc mắc lập luận tồn tại duy nhất k kia, ví dụ n=15 thì có 3,5|15






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh