Chủ đề này có 23 trả lời

[E. Galois]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 02/11/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:

1) Trận 11 có 21 toán thủ tham gia nên sau trận này, 01 toán thủ sẽ bị loại

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

3) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ nào tự ý sửa bài làm của mình sẽ được 0 điểm

4) Từ trận 8, Điều lệ có sự thay đổi, cụ thể như sau:

- Sau mỗi trận, sẽ có một số toán thủ bị loại theo thứ tự ưu tiên sau:
+ Điểm xét bị loại thấp hơn
+ Tham gia lâu hơn mà chưa ra đề
+ Số báo danh nhỏ hơn

- Gọi $D_{rd}$ là điểm của toán thủ ra đề:
$$D_{rd}= 4*\left (t_{lb1} - t_{bd} \right ) + 3*n_{klb} + 2*n_{mr} + 30$$

* Gọi $S$ là điểm của toán thủ làm bài.
$$S = \left [\frac{52 - \left (t_{lb} - t_{rd} \right )}{2} \right ]+3*d+d_{mr}+d_{t}$$
Trong đó:
Kí hiệu $[x]$ chỉ phần nguyên của số thập phân $x$.

[E. Galois]

Đề của BTC:
Giải phương trình:
$$2\sqrt[3]{(1+x)^2}+3\sqrt[3]{1-x^2}+\sqrt[3]{(1-x)^2}=0$$

[Tru09]

Đề của BTC:
Giải phương trình:
$$2\sqrt[3]{(1+x)^2}+3\sqrt[3]{1-x^2}+\sqrt[3]{(1-x)^2}=0$$

Bài làm (Tru09)
Đặt $(1+x) =a ;(1-x) =b$
Thay vào ta có:
$2\sqrt[3]{a^2} +3\sqrt[3]{ab} +\sqrt[3]{b^2} =0$
$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{a} +\sqrt[3]{b})(2\sqrt[3]{a} +\sqrt[3]{b}) =0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}\sqrt[3]{a}=-\sqrt[3]{b} & \\ 2\sqrt[3]{a} =-\sqrt[3]{b} &
\end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}\sqrt[3]{1+x}=-\sqrt[3]{1-x} & \\ 2\sqrt[3]{1+x} =-\sqrt[3]{1-x} &
\end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 1+x =-1+x & \\ 8+8x =-1+x &
\end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow 7x =-9$
$\Leftrightarrow x =\frac{-9}{7}$
Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{-9}{7}$
----
Mở rộng của em đa phần giống nhau anh chỉ chấp nhận mở rộng 1, 4, 7 thôi nhé!
----
Điểm bài làm: 10
Tổng điểm: $\left [ \dfrac{52-\left ( 20-20 \right )}{2} \right ]+3.10+20+0=76$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 12-11-2012 - 21:54

[daovuquang]

Bài làm của daovuquang:
Đặt $\sqrt[3]{1+x}=a; \sqrt[3]{1-x}=b$.
Phương trình bài cho tương đương với: $2a^2+3ab+b^2=0$
$\Leftrightarrow (2a+b)(a+b)=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
2a=-b\\
a=-b
\end{bmatrix}$
TH1: $2a=-b$ hay $2\sqrt[3]{1+x}=-\sqrt[3]{1-x}\; (1)$.
$(1)\Leftrightarrow 8(1+x)=-(1-x)$
$\Leftrightarrow 8+8x=x-1$
$\Leftrightarrow x=-\frac{9}{7}$.
TH2: $a=-b$ hay $\sqrt[3]{1+x}=-\sqrt[3]{1-x}\; (2)$.
$(2)\Leftrightarrow 1+x=-(1-x)$
$\Leftrightarrow 1=-1$
$\Rightarrow$ loại.
Vậy $x=-\frac{9}{7}$.
----
Nếu mấy mở rộng của em gộp số mũ lại thành hai mở rộng thì hay hơn đấy
----
Điểm bài làm: 10
Tổng điểm: $\left [ \dfrac{52-\left ( 20-20 \right )}{2} \right ]+3.10+20+0=76$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 12-11-2012 - 21:57

[BlackSelena]

Bài làm của MSS01 - BlackSelena:

$$2\sqrt[3]{(1+x)^2}+3\sqrt[3]{1-x^2}+\sqrt[3]{(1-x)^2}=0$$
Đặt $\sqrt[3]{1+x} =a ; \sqrt[3]{1-x} = b$ vậy phương trình tương đương:
$2a^2 + 3ab + b^2 = 0$
$\Leftrightarrow (a+b)(2a+b) = 0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a = -b\\ 2a = -b \end{bmatrix}$
* Với $a= -b \Rightarrow 1 + x = x-1$ ( vô lý)
* Với $2a = -b \Rightarrow 8 + 8x = x-1 \Leftrightarrow x = \frac{-9}{7}$
Vậy pt có nghiệm $ x = \frac{-9}{7}$
----
Điểm bài làm: 10
Tổng điểm: $\left [ \dfrac{52-\left ( 21-20 \right )}{2} \right ]+3.10+20+0=75$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 12-11-2012 - 22:01

[thanhluong]

Đề của BTC:
Giải phương trình:
$$2\sqrt[3]{(1+x)^2}+3\sqrt[3]{1-x^2}+\sqrt[3]{(1-x)^2}=0$$

Phương trình tương đương:
$2\sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{x+1}+2\sqrt[3]{(1+x)(1-x)}+\sqrt[3]{1-x}\sqrt[3]{1-x}=0$

$\Leftrightarrow 2\sqrt[3]{x+1}(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt{1-x})+\sqrt[3]{1-x}(\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{1-x})=0$.

$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{1-x})(2\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{1-x})=0$.

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{1-x}=0$ hoặc $2\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{1-x}=0$.

$\boxed{\text{Trường hợp 1}}$: $\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{1-x}=0$

Khi đó $\sqrt[3]{1+x}=-\sqrt[3]{1-x}$ $\Leftrightarrow 1+x = -1+ x$ (Vô lý).

$\boxed{\text{Trường hợp 2}}$: $2\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{1-x}=0$

Khi đó $2\sqrt[3]{1+x}=-\sqrt[3]{1-x}$ $\Leftrightarrow 8(1+x)=-1+x \Leftrightarrow x=-\frac{9}{7}$

Vậy: $\boxed{S=\{ -\frac{9}{7} \}}$
----
Điểm bài làm: 10
Tổng điểm: $\left [ \dfrac{52-\left ( 21-20 \right )}{2} \right ]+3.10+0+0=45$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 12-11-2012 - 22:05

[NGUYEN MINH HIEU TKVN]

Em là minhhieukaka. Mong BTC thông cảm và chấm bài dự thi này của em. Em xin cảm ơn!!!!

giải

Ta có:
$2\sqrt[3]{(1+x)^{2}}+3\sqrt[3]{1-x^{2}}+\sqrt[3]{(1-x^{2})}=0$
$\Leftrightarrow 2\sqrt[3]{(1+x)^{2}}+3\sqrt[3]{(1-x)(1+x)}+\sqrt[3]{(1-x)^{2}}=0$
Đặt $\sqrt[3]{1-x}=a$ và $\sqrt[3]{1+x}=b$
Phương trình đã cho thành
$a^{2}+3ab+2b^{2}=0$
$\Leftrightarrow a^{2}+ab+2ab+2b^{2}=0$
$\Leftrightarrow a(a+b)+2b(a+b)=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(a+2b)=0$
$\Leftrightarrow$ a+b = 0 hoặc a+2b = 0
Giải a+ b=0 có
$\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{1+x}=0$
=> $(\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{1+x})^{3}=0$
$2+ 3\sqrt[3]{(1-x)(1+x)}(\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{1+x})$=0
=> 2= 0 vô lý
=> phương trình vô nghiệm
Xét a+2b=0
=> $\sqrt[3]{1-x}+2\sqrt[3]{1+x}=0$
Lập phương tương tụ ta rồi thu gọn ta được
7x + 9=0 => x= -9/7
Vậy nghiệm của pt đã cho là x= $\frac{-9}{7}$

======================================
Do em làm mất mật khẩu nên từ nay em xin dùng nick này( nếu có thể)
Em rất mong được tiếp tục tham gia MSS. Em xin cảm ơn !!!
----
Điểm bài làm: 10
Tổng điểm: $\left [ \dfrac{52-\left ( 36-20 \right )}{2} \right ]+3.10+0+0=46$
----
Còn về mở rộng thì:

Ở mở rộng 1 bạn chia 2 vế cho $b$ khi chưa chắc $b \ne 0$.
Ở các mở rộng tiếp theo thì mình nghĩ bạn nên giải hẳn ra $x$ chứ ko chỉ dừng lại nửa chừng.
Mở rộng 4 và 5 bạn phải xét trường hợp $y$ chẵn hay lẻ.
Mở rộng 5 thì hình như bạn viết sai đề.
Ngoài ra trong quá trình đánh còn có 1 số chỗ sai latex.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 12-11-2012 - 22:10

[BlackBot]

Bài làm .
Đặt $\sqrt[3]{1+x}=a$, $\sqrt[3]{1-x}=b$.
$PT \Leftrightarrow 2a^2+3ab+b^2=0$
$\Leftrightarrow 2a^2+2ab+ab+b^2=0$
$\Leftrightarrow 2a(a+b)+b(a+b)=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(2a+b)=0$
$\Leftrightarrow a+b=0$ hoặc $2a+b=0$.
Xét: $a+b=0$.
$\Rightarrow \sqrt[3]{1+x}=-\sqrt[3]{1-x} \Leftrightarrow 1+x=-1+x$ (Vô nghiệm)
Xét: $2a+b=0$
$\Rightarrow 2\sqrt[3]{1+x}=-\sqrt[3]{1-x} \Leftrightarrow 8(1+x)=-1+x \Leftrightarrow x=-\frac{9}{7}$.
Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\{-\frac{9}{7}\}$
----
Điểm bài làm: 10
Tổng điểm: $\left [ \dfrac{52-\left ( 37-20 \right )}{2} \right ]+3.10+0+0=47$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 12-11-2012 - 22:08

[daovuquang]

Mở rộng 1: Giải phương trình:
$$2\sqrt[2k+1]{(1+x)^2}+3\sqrt[2k+1]{1-x^2}+\sqrt[2k+1]{(1-x)^2}=0$$ với $k \in \mathbb{N}$.

Đặt $\sqrt[2k+1]{1+x}=a; \sqrt[2k-1]{1-x}=b$.
Phương trình tương đương với: $2a^2+3ab+b^2=0$
$\Leftrightarrow (2a+b)(a+b)=0$
$\Leftrightarrow 2a=-b$ hoặc $a=-b$.
TH1: $2a=-b$ hay $2\sqrt[2k+1]{1+x}=-\sqrt[2k+1]{1-x}$
$\Leftrightarrow 2^{2k+1}(x+1)=x-1$
$\Leftrightarrow x=-\frac{2^{2k+1}+1}{2^{2k+1}-1}$.
TH2: $a=-b$ hay $\sqrt[2k+1]{1+x}=-\sqrt[2k+1]{1-x}$

$\Leftrightarrow x+1=x-1$
$\Leftrightarrow$ 1=-1 $\Rightarrow$ loại.
Kết luận: Vậy $x=-\frac{2^{2k+1}+1}{2^{2k+1}-1}$.

[daovuquang]

Mở rộng 2: Giải phương trình:
$$2\sqrt[2k]{(1+x)^2}+3\sqrt[2k]{1-x^2}+\sqrt[2k]{(1-x)^2}=0$$ với $k \in \mathbb{N}^*$.

Điều kiện xác định: $1-x^2\ge 0 \Leftrightarrow -1\le x\le 1$.
Nhận xét: $VT\ge 0=VP$.
Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}\sqrt[2k]{(1+x)^2}=0\\\sqrt[2k]{1-x^2}=0\\\sqrt[2k]{(1+x)^2}=0\end{cases}$
$\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.
Kết luận: Vậy phương trình vô nghiệm.

[NGUYEN MINH HIEU TKVN]

EM XIN MỞ RỘNG
MỞ RỘNG 1
thay 1 thành tham số và thêm tham số trước x. Nghĩa là:
Phương trình mở rộng là $\alpha và \beta$ là số thực)
$2\sqrt[3]{(\alpha +\beta x)^{2}}+3\sqrt[3]{\alpha ^{2}-\beta^{2} x^{2}}+\sqrt[3]{(\alpha -\beta x)^{2}}=0$
Đặt $\sqrt[3]{\alpha +\beta x}$ = u và $\sqrt[3]{\alpha -\beta x }=v$
Phương trình đã cho thành
$v^{2}+3uv+2u^{2}=0$
$\leftrightarrow (v+u)(v+2u)=0$
=> v= -u hoặc v = -2u
Giải tương tự bằng cách thay lại. giải v= -u có
$\sqrt[3]{\alpha +\beta x}=-\sqrt[3]{\alpha -\beta x}$
=> $\alpha +\beta x= -\alpha +\beta x$
=> phương trình có nghiệm khi $\alpha =0$
VÌ $0 $\beta$x=$2\alpha$ => $x\in \mathbb{R}$
Giải trường hợp 2 có
$\sqrt[3]{\alpha -\beta x }=v$ = $-2\sqrt[3]{\alpha +\beta x }$
=> $\alpha -\beta x= -8\alpha -8\beta x$
hay $9\alpha = -7\beta x$ => x = $\frac{9\alpha }{-7\beta }$
================================================
MỞ RỘNG 2
Ta có phương trình sau:
$\alpha \sqrt[3]{1+x}+\beta \sqrt[3]{1-x^{2}}+\gamma \sqrt[3]{(1-x)^{2}}=0$
Đặt $\sqrt[3]{1+x}=y$ và $\sqrt[3]{1-x}=z$
phương trình trở về dạng quen thuộc
$\alpha y^{2}+\beta yz+\gamma z^{2}$
Xét yz = 0 => y= 0 hoăc z = 0 => x = $\pm 1$ ( không thoã mãn)
Xét yz khác 0 . Chia cả 2 vế phương trình cho yz có
$\alpha \frac{y}{z}+\beta +\gamma \frac{z}{y}$ = 0
Đặt $\frac{y}{z}=t$ => $\frac{z}{y}=\frac{1}{t}$
phương trình cho thành
$\alpha t+\beta +\gamma \frac{1}{t}=0$
=> $\alpha t^{2}+\beta t+\gamma =0$
Phương trình có nghiệm t khi $\beta ^{2}-4\alpha \gamma \geq 0$
giả sử pt có nghiệm thoả mãn điều kiện trên thì
$t_{1}=\frac{-\beta -\sqrt{\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}{2\alpha }$
hoặc $t_{2}=\frac{-\beta +\sqrt{\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}{2\alpha }$
Thế ngược lại ẩn có
$\frac{-\beta +\sqrt{\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}{2\alpha }=\sqrt[3]{\frac{1+x}{1-x}}$
hoặc $\frac{-\beta -\sqrt{\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}{2\alpha }=\sqrt[3]{\frac{1+x}{1-x}}$
với các $\alpha và \beta và \gamma$ là các số cho trươc thoả mãn có nghiệm

========================================
MỞ RỘNG 3
Đây là mở rộng tổng quát cho cả 2 mở rộng 1 và 2
Nghĩa là $\alpha \sqrt[3]{(m+nx)^{2}}+\beta \sqrt[3]{m^{2}-n^{2}x^{2}}+\gamma \sqrt[3]{(m-nx)^{2}}=0$
Giải tương tự theo hướng trên và tìm được nghiệm là
$\sqrt[3]{\frac{m+nx}{m-nx}}=\frac{-\beta-\sqrt{\beta ^{2}-4\alpha \gamma } }{2\alpha }$
hoặc
$\sqrt[3]{\frac{m+nx}{m-nx}}=\frac{-\beta+\sqrt{\beta ^{2}-4\alpha \gamma } }{2\alpha }$
Ngoài ra với m = 0 thì $x\in \mathbb{R}$ như ở mở rộng1
=================================
MỞ RỘNG 4
$2\sqrt[y]{(m+nx)^{2}}+3\sqrt[y]{m^{2}-n^{2}x^{2}}+\sqrt[y]{(m-nx)^{2}}=0$
Giải tương tự như các phần trên
===================================
Cuối cùng em xin mở rộng tổng quát nhất
MỞ RỘNG 5
$\alpha \sqrt[y]{(m+nx)^{t}}+\beta \sqrt[y]{m^{t}-n^{t}x^{t}}+\gamma \sqrt[y]{(m-nx)^{t}}=0$
Em nghĩ rằng tổng quát 5 cũng làm tương tự như các tổng quát trên nhưng còn phải phụ thuộc vào 1 phần số liệu tham số đề cho. Vậy nên với kiến thức em đang có thì khó có thể làm được hoàn chỉnh.
=====================================================

THE END

[daovuquang]

Mở rộng 3: Giải phương trình:
$$2\sqrt[2k+1]{(ax+b)^2}+3\sqrt[2k+1]{acx^2+(ad+bc)x+bd}+\sqrt[2k+1]{(cx+d)^2}=0$$ với $k \in \mathbb{N};\; a;b;c;d \in \mathbb{R}$ và $2^{2k+1}a+c\ne 0;\; a+c\ne 0$.


Đặt $\sqrt[2k+1]{ax+b}=a; \sqrt[2k-1]{cx+d}=b$.
Phương trình tương đương với: $2a^2+3ab+b^2=0$
$\Leftrightarrow (2a+b)(a+b)=0$
$\Leftrightarrow 2a=-b$ hoặc $a=-b$.
TH1: $2a=-b$ hay $2\sqrt[2k+1]{ax+b}=-\sqrt[2k+1]{cx+d}$
$\Leftrightarrow 2^{2k+1}(ax+b)=cx+d$
$\Leftrightarrow x=-\frac{2^{2k+1}b+d}{2^{2k+1}a+c}$.
TH2: $a=-b$ hay $\sqrt[2k+1]{ax+b}=-\sqrt[2k+1]{cx+d}$

$\Leftrightarrow ax+b=-cx-d$
$\Leftrightarrow x=-\frac{b+d}{a+c}$.
Kết luận: Vậy $x=-\frac{2^{2k+1}+1}{2^{2k+1}-1}$ hoặc $x=-\frac{b+d}{a+c}$.

[daovuquang]

Mở rộng 3: Giải phương trình:
$$2\sqrt[2k+1]{(ax+b)^2}+3\sqrt[2k+1]{acx^2+(ad+bc)x+bd}+\sqrt[2k+1]{(cx+d)^2}=0$$ với $k \in \mathbb{N};\; a;b;c;d \in \mathbb{R}$ và $2^{2k+1}a+c\ne 0;\; a+c\ne 0$.


Đặt $\sqrt[2k+1]{ax+b}=u; \sqrt[2k-1]{cx+d}=v$.
Phương trình tương đương với: $2u^2+3uv+v^2=0$
$\Leftrightarrow (2u+v)(u+v)=0$
$\Leftrightarrow 2u=-v$ hoặc $u=-v$.
TH1: $2u=-v$ hay $2\sqrt[2k+1]{ax+b}=-\sqrt[2k+1]{cx+d}$
$\Leftrightarrow 2^{2k+1}(ax+b)=cx+d$
$\Leftrightarrow x=-\frac{2^{2k+1}b+d}{2^{2k+1}a+c}$.
TH2: $u=-v$ hay $\sqrt[2k+1]{ax+b}=-\sqrt[2k+1]{cx+d}$
$\Leftrightarrow ax+b=-cx-d$
$\Leftrightarrow x=-\frac{b+d}{a+c}$.
Kết luận: Vậy $x=-\frac{2^{2k+1}+1}{2^{2k+1}-1}$ hoặc $x=-\frac{b+d}{a+c}$.
Sorry lần trước em đánh bị trùng a,b. Mong BTC xoá mở rộng kia đi.

[daovuquang]

Mở rộng 4: Giải phương trình:
$$mp\sqrt[2k+1]{(ax+b)^2}+(mq+np)\sqrt[2k+1]{acx^2+(ad+bc)x+bd}+nq\sqrt[2k+1]{(cx+d)^2}=0$$ với $k \in \mathbb{N};\; a;b;c;d;m;n;p;q \in \mathbb{R}$ và $m^{2k+1}a+n^{2k+1}c\ne 0;\; p^{2k+1}a+q^{2k+1}c\ne 0$.


Đặt $\sqrt[2k+1]{ax+b}=u; \sqrt[2k-1]{cx+d}=v$.
Phương trình tương đương với: $mpu^2+(mq+np)uv+nqv^2=0$
$\Leftrightarrow (mu+nv)(pu+qv)=0$
$\Leftrightarrow mu=-nv$ hoặc $pu=-qv$.
TH1: $mu=-nv$ hay $m\sqrt[2k+1]{ax+b}=-n\sqrt[2k+1]{cx+d}$
$\Leftrightarrow m^{2k+1}(ax+b)=-n^{2k+1}(cx+d)$
$\Leftrightarrow x=-\frac{m^{2k+1}b+n^{2k+1}d}{m^{2k+1}a+n^{2k+1}c}$.
TH2: $pu=-qv$ hay $p\sqrt[2k+1]{ax+b}=-q\sqrt[2k+1]{cx+d}$
$\Leftrightarrow p^{2k+1}(ax+b)=-q^{2k+1}(cx+d)$
$\Leftrightarrow x=-\frac{p^{2k+1}b+q^{2k+1}d}{p^{2k+1}a+q^{2k+1}c}$.
Kết luận: Vậy $x=-\frac{m^{2k+1}b+n^{2k+1}d}{m^{2k+1}a+n^{2k+1}c}$ hoặc $x=-\frac{p^{2k+1}b+q^{2k+1}d}{p^{2k+1}a+q^{2k+1}c}$.

[Tru09]

Mở rộng 1 :
Giải phương trình :
$a\sqrt[3]{(1+x)^2} +(a+b)\sqrt[3]{1-x^2} +b\sqrt[3]{(1-x)^2} =0$
Bài giải :
$PT \Leftrightarrow (a\sqrt[3]{1+x}+b\sqrt[3]{1-x}) .(\sqrt[3]{1+x} +\sqrt[3]{1-x}) =0$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{1+x} =-\sqrt[3]{1-x} :\text{Vô nghiệm} $ hoặc $a\sqrt[3]{1+x}=-b\sqrt[3]{1-x}$
$\Leftrightarrow a^3 (1+x) =b^3 (1-x)$
$\Leftrightarrow a^3 -b^3 +x (a^3 +b^3) =0$
Với $a^3 +b^3 =0 (a \neq b) \Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm
Với $a=b=0$ thì phương trình vô số nghiệm .
Với $a^3 +b^3 \neq 0$
$PT \Leftrightarrow x =\frac{b^3 -a^3}{a^3 +b^3}$

Mở rộng 2:
Em cho bậc của căn lên 2k+1 .
Giải phương trình :
$a\sqrt[2k+1]{(1+x)^2} +(a+b)\sqrt[2k+1]{1-x^2} +b\sqrt[2k+1]{(1-x)^2} =0$
Bài giải :
$PT \Leftrightarrow (a\sqrt[2k+1]{1+x}+b\sqrt[2k+1]{1-x}) .(\sqrt[2k+1]{1+x} +\sqrt[2k+1]{1-x}) =0$
$\Leftrightarrow \sqrt[2k+1]{1+x} =-\sqrt[2k+1]{1-x} :\text{Vô nghiệm} $ hoặc $a\sqrt[2k+1]{1+x}=-b\sqrt[2k+1]{1-x}$
$\Leftrightarrow a^{2k+1} (1+x) =b^{2k+1} .(1-x)$
$\Leftrightarrow a^{2k+1} -b^{2k+1} +x (a^{2k+1} +b^{2k+1}) =0$
Với $a^{2k+1} +b^{2k+1} =0 (a \neq b) \Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm
Với $a=b=0$ thì phương trình vô số nghiệm .
Với $a^{2k+1} +b^{2k+1} \neq 0$
$PT \Leftrightarrow x =\frac{b^{2k+1} -a^{2k+1}}{a^{2k+1} +b^{2k+1}}$

Mở rộng 3 :
Em cho bậc lên 2k (cái này có phần khác )
Giải phương trình :
$a\sqrt[2k]{(1+x)^2} +(a+b)\sqrt[2k]{1-x^2} +b\sqrt[2k]{(1-x)^2} =0$ Đk $1 \geq x \geq -1$
---Với a và b cùng lớn hơn 0
$\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm
---Với a và b không cùng lớn hơn 0
$\Rightarrow$ Giải tương tự $\Rightarrow a\sqrt[2k]{1+x} =-b\sqrt[2k]{1-x}$
** với a và b cùng dấu $\Rightarrow PT$ vô nghiệm .
** với a và b khác dấu Đến đây ta giải tương tự và kết hợp với đk
Và qua mở rộng này ta có 2 điều cần lưu ý .


Mở rộng 4 :
Em bậc cả của căn với biểu thức trong căn lên .
$a\sqrt[k]{(1+x)^{2n}} +(a+b)\sqrt[k]{(1-x^2)^n} +b\sqrt[k]{(1-x)^{2n}} =0$
Bài làm:
Giải tách ra mr 2 và 3 về phần điều kiện .
$pT \Leftrightarrow (\sqrt[k]{(1+x)^n} +\sqrt[k]{(1-x)^n})(a\sqrt[k]{(1+x)^{n}} +b\sqrt[k]{(1-x)^{n}}) =0$
$PT \Leftrightarrow \sqrt[k]{(1+x)^n} =-\sqrt[k]{(1-x)^n} :\text{tách chẵn và lẻ ở k rồi làm tương tự mr 2,3}$
Hoặc $a\sqrt[k]{(1+x)^{n}} =-b\sqrt[k]{(1-x)^{n}} :\text{tách chẵn và lẻ ở k rồi làm tương tự mr 2,3}$


Mở rộng 5
Không chỉ dừng lại ở 1 . ta còn có thể đổi 1 thành y
Giải phương trình :
$a\sqrt[3]{(y+x)^2} +(a+b)\sqrt[3]{y^2-x^2} +b\sqrt[3]{(y-x)^2} =0$
Bài làm :
$PT \Leftrightarrow (a\sqrt[3]{y+x}+b\sqrt[3]{y-x}) .(\sqrt[3]{y+x} +\sqrt[3]{y-x}) =0$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{y+x} =-\sqrt[3]{y-x} :\text{y=0 và với mọi x hoặc $y \neq 0 \Rightarrow PT$ vô nghiệm } $
hoặc $a\sqrt[3]{y+x}=-b\sqrt[3]{y-x}$
$\Leftrightarrow a^3 (y+x)=-b^3(y-x)$
$\Leftrightarrow y(a^3 +b^3) +x(a^3 -b^3)=0$
Lý luận tương tự Mr 3
$\Leftrightarrow x =\frac{-y(a^3 +b^3)}{a^3 -b^3}$

Mở rộng 6 :
Khi đã đổi 1 sang y . Ta còn có thể tăng bậc của căn lên ( cho gọn em cho bậc k thôi không thành 2k +1 với 2k nữa )
Giải phương trình :
$a\sqrt[k]{(y+x)^2} +(a+b)\sqrt[k]{y^2-x^2} +b\sqrt[k]{(y-x)^2} =0$
Bài làm :
$PT \Leftrightarrow (\sqrt[k]{(y+x)} +\sqrt[k]{(y-x)})(a\sqrt[k]{(y+x)}+b\sqrt[k]{(y-x)}) =0$
$\Leftrightarrow \sqrt[k]{(y+x)} =-\sqrt[k]{(y-x)} :\text{tách chẵn lẻ và giải tương tự}$
hoặc $a\sqrt[k]{(y+x)}=-b\sqrt[k]{(y-x)} :\text{tách chẵn lẻ và giải tương tự}$


Mở rộng 7:
Bậc cả căn và biểu thức trong căn lên :
Giải phương trình :
$a\sqrt[k]{(y+x)^{2n}} +(a+b)\sqrt[k]{(y^2-x^2)^n} +b\sqrt[k]{(y-x)^{2n}} =0$
Bài làm :
$PT \Leftrightarrow (\sqrt[k]{(y+x)^{n}} +\sqrt[k]{(y-x)^{n}})(a\sqrt[k]{(y+x)^{n}} +b\sqrt[k]{(y-x)^{n}}) =0$
$\Leftrightarrow \sqrt[k]{(y+x)^{n}} =-\sqrt[k]{(y-x)^{n}} :\text{tách chẵn lẻ và giải tương tự}$
$\Leftrightarrow a\sqrt[k]{(y+x)^{n}} =-b\sqrt[k]{(y-x)^{n}} :\text{tách chẵn lẻ và giải tương tự}$

[Tru09]

Mở rộng 9
Giải phương trình :
$\frac{2}{\sqrt[3]{(1+x)^2}} +\frac{3}{\sqrt[3]{1-x^2}} +\frac{1}{\sqrt[3]{(1-x)^2}} =0$
Bài làm : Đk $x \neq \pm 1$
$PT \Leftrightarrow (\frac{1}{\sqrt[3]{(1+x)}} +\frac{1}{\sqrt[3]{(1-x)}})(\frac{2}{\sqrt[3]{(1+x)}} +\frac{1}{\sqrt[3]{(1-x)}}) =0$
$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{(1+x)}} =-\frac{1}{\sqrt[3]{(1-x)}} :\text{Vô nghiệm }$
Hoặc $\frac{2}{\sqrt[3]{(1+x)}} =-\frac{1}{\sqrt[3]{(1-x)}}$
$\Leftrightarrow 8(1-x) =-(1+x) \Leftrightarrow x =\frac{9}{7}$

Mở rộng 10 :
Chúng ta tiếp tục bậc căn lên \m/
Giải phương trình :
$\frac{a}{\sqrt[k]{(1+x)^2}} +\frac{a+b}{\sqrt[k]{1-x^2}} +\frac{b}{\sqrt[k]{(1-x)^2}} =0$
Bài làm :
Xét đk với k chẵn thì $1 >x >-1$ với k lẻ $x \neq \pm 1$
$PT \Leftrightarrow (\frac{a}{\sqrt[k]{(1+x)}} +\frac{b}{\sqrt[k]{(1-x)}})(\frac{1}{\sqrt[k]{(1+x)}}+\frac{1}{\sqrt[k]{(1-x)}}) =0$
$\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt[k]{(1+x)}} =-\frac{b}{\sqrt[k]{(1-x)}} :\text{Chú ý điều kiện và giải tương tự }$
Hoặc
$\frac{1}{\sqrt[k]{(1+x)}}=-\frac{1}{\sqrt[k]{(1-x)}}:\text{Chú ý điều kiện và giải tương tự }$


Mở rộng 11 :
Bậc cái trong căn lên
Giải phương trình :
$\frac{a}{\sqrt[k]{(1+x)^{2n}}} +\frac{a+b}{\sqrt[k]{(1-x^2)^n}} +\frac{b}{\sqrt[k]{(1-x)^{2n}}} =0$
$PT \Leftrightarrow (\frac{a}{\sqrt[k]{(1+x)^n}} +\frac{b}{\sqrt[k]{(1-x)^n}})(\frac{1}{\sqrt[k]{(1+x)^n}}+\frac{1}{\sqrt[k]{(1-x)^n}}) =0$
$\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt[k]{(1+x)^n}} =-\frac{b}{\sqrt[k]{(1-x)^n}} :\text{Chú ý điều kiện và giải tương tự}$
Hoặc $\frac{1}{\sqrt[k]{(1+x)^n}}=-\frac{1}{\sqrt[k]{(1-x)^n}} :\text{Chú ý điều kiện và giải tương tự}$

[BlackSelena]

Mở rộng 1: thay $1=k$. Đặt $k + x =a$, $k - x =b$. Phương trình tương đương
$(a+b)(2a + b) = 0$
Ta chỉ xét trường hợp $2a = -b$ do trường hợp còn lại đã loại như trong bài làm gốc.
Giải ra ta được $x = \frac{-9k}{7}$

Mở rộng 2: Với cách đặt ẩn phụ như trên, ta chuyển về giải phương trình:
$ka^2 + (k+1)ab + b$
$\Leftrightarrow ka(a+b) + b(a+b)$
$\Leftrightarrow (a+b)(ka+b)$
Giải ra ta được $a = \frac{-b}{k}$
Hay $ k + xk = x -1$
$\Leftrightarrow x = \frac{-(1+k)}{k-1}$

Mở rộng 3: Đổi tham số của $b$ một cách tổng quát hơn
$ka^2 + (k+y)ab + yb$
$\Leftrightarrow (a+b)(ka + yb)$
Còn lại giải tương tự.

[BlackSelena]

Mở rộng 4: Ta thử tăng bậc của căn thức lên $2n + 1$, với cách đặt ẩn phụ như trên, ta có phương trình:
$2a^{2n+1^{2}} + 3(ab)^{2n+1} + b^{2n+1^{2}}$
$\Leftrightarrow (a^{2n+1} + b^{2n+1})(2a^{2n+1} + b^{2n+1})$
$\Leftrightarrow 2a = - b$, tới đây giải tương tự.
Các mở rộng 1,2,3 có một chút nhầm lẫn, cho phép em được sửa lại ạ:
mở rộng 1 : phải là $8(x+k) = x -k$ từ đó $x = \frac{-9k}{7}$
các mở rộng khác tương tự, cho em xin lỗi việc này ạ
__
Mở rộng 5: Ta vừa tổng quát số mũ, vừa tổng quát hệ số, tức là
$ka^{2n+1^{2}} + (k+y)(a^{2n+1}\cdot b^{2n+1}) = yb^{2n+1^{2}}$
$\Leftrightarrow (a^{2n+1} + b^{2n+1})(ka^{2n+1} + yb^{2n+1}$
$\Leftrightarrow ka = yb$ tới đây đã giống mở rộng 3.

[E. Galois]

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau

[daovuquang]

Mở rộng của bạn minhhieukaka có vấn đề. Mở rộng của Tru09 hơi giống nhau.