Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Tìm các điểm A trên Oy mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến ( C )


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 diendantoanhoc29

diendantoanhoc29

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 06-11-2012 - 00:10

cho hàm số: $y = x^4 - 2mx^2 + 2m + 1$
Tìm các điểm $A$ trên $Oy$ mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến ( C )
 



#2 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3797 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 14-09-2014 - 20:32

Ta có:
$$y'=4x^3-4mx=2x(x^2-m)$$
Nhận xét
Nếu $m > 0$, hàm số có hai điểm cực tiểu và tiếp tuyến tại hai điểm đó trùng nhau, cùng có phương trình $y=-m^2+2m+1$. Do đó qua điểm $A(0;-m^2+2m+1)$ chỉ kẻ được đúng 1 tiếp tuyến tới đồ thị $\left ( C \right )$.
 
Giả sử $A(0;a)$ là điểm cần tìm. 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left ( C \right )$ tại điểm có hoành độ $x_0$ có dạng:
\begin{equation}\label{eq:1}y = (4x_0^3-4mx_0)x-3x_0^4+2mx_0^2+2m+1\end{equation}
Do tiếp tuyến đi qua $A$ nên:
\begin{equation}\label{eq:2}a=-3x_0^4+2mx_0^2+2m+1\end{equation}
Bài toán trở thành tìm điều kiện của $a$ để phương trình $\eqref{eq:2}$ (ẩn $x_0$) có hai nghiệm phân biệt.
Xét hàm số:
\begin{equation}\label{eq:3}f(x)=-3x^4+2mx^2+2m+1\end{equation}
Ta có:
$$f'(x) = -12x^3+4mx = 4x(-3x^2+m)$$
Ta có hai trường hợp sau:
 
TH1: $m \leq 0$. 
Khi đó phương trình $f'(x)=0$ có duy nhất 1 nghiệm $x=0$. 
Ta có bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ như sau:
h1.png
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy, điều kiện cần và đủ để phương trình $\eqref{eq:2}$ (ẩn $x_0$) có hai nghiệm phân biệt là $a < 2m+1$
 
TH2: $m > 0$
Khi đó phương trình $f'(x)=0$ có $3$ nghiệm $x=0, x = \pm \sqrt{\frac{m}{3}}$.
Ta có bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ như sau 
h2.png
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình $\eqref{eq:2}$ (ẩn $x_0$) có hai nghiệm phân biệt khi $a = \frac{m^2}{3}+2m+1$ hoặc $a < 2m+1$
 
Kết luận
Kết hợp cả hai trường hợp và nhận xét ban đầu, ta có các điểm thỏa mãn yêu cầu của bải toán có dạng $A(0;a)$ với
$$\left[ \begin{matrix}-m^2+2m+1 \neq a< 2m+1 \\ a = \frac{m^2}{3}+2m+1 \end{matrix}\right.$$

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 15-09-2014 - 08:22

cho hàm số: $y = x^4 - 2mx^2 + 2m + 1$
Tìm các điểm $A$ trên $Oy$ mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến ( C )
 

Gọi tọa độ các điểm $A$ thỏa mãn ĐK bài toán là $A(0;a)$

$y'=4x^3-4mx=4x(x^2-m)$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_{0}$ có dạng :

$y=4x_{0}(x_{0}^{2}-m)(x-x_{0})+x_{0}^{4}-2mx_{0}^{2}+2m+1$

Tiếp tuyến đó đi qua $A$ nên ta có : $a=4x_{0}(x_{0}^{2}-m)(-x_{0})+x_{0}^{4}-2mx_{0}^{2}+2m+1$

$\Leftrightarrow 3x_{0}^{4}-2mx_{0}^{2}+a-2m-1=0$ (1)

Xét $2$ trường hợp :

$1)$ $m> 0$

   Khi đó hàm số đã cho có $2$ điểm cực tiểu và các tiếp tuyến tại đó trùng nhau, có pt là $y=-m^2+2m+1$ 

   $\Rightarrow a\neq -m^2+2m+1$ (2)

 Xét pt (1) (là pt trùng phương bậc 4 ẩn số là $x_{0}$)

  $\Delta '=m^2+6m+3-3a$

 + Nếu $\Delta '=0$ hay $a=\frac{m^2+6m+3}{3}$ thì (1) có $2$ nghiệm phân biệt.

 + Nếu $\Delta '>0$ hay $a< \frac{m^2+6m+3}{3}$ (3)

    Khi đó pt (1) có đúng $2$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\frac{a-2m-1}{3}<0$ hay $a<2m+1$ (4)

    Kết hợp (3) và (4) ta có $a<2m+1$

 

$2)$ $m\leqslant 0$

 + Nếu $\Delta '=0$ thì (1) vô nghiệm hoặc chỉ có $1$ nghiệm kép.

 + Nếu $\Delta '>0$ hay $a< \frac{m^2+6m+3}{3}$ (3)

    Khi đó pt (1) có đúng $2$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\frac{a-2m-1}{3}<0$ hay $a<2m+1$ (4)

    Kết hợp (3) và (4) ta có $a<2m+1$

 

Kết luận :

$1)$ Nếu $m> 0$ thì các điểm thỏa mãn ĐK đề bài là $A(0;a)$ với $a=\frac{m^2+6m+3}{3}=\frac{m^2}{3}+2m+1$ hoặc $a$ phải đồng thời thỏa mãn 2 ĐK :

$\left\{\begin{matrix}a<2m+1\\a\neq -m^2+2m+1\end{matrix}\right.$

$2)$ Nếu $m\leqslant 0$ thì các điểm thỏa mãn ĐK đề bài là $A(0;a)$ với $a<2m+1$


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh