Chủ đề này có 1 trả lời

[iloveyou123]

Cho $x_{1}$ , $x_{2}$ , ...,$x_{n}$ thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}+...x_{n}=0 & & \\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...x_{n}^{2}=1 \end{matrix}\right.$

Cmr luôn tìm đuợc 4 số $\epsilon x_{i}$ (trong tập các số đã cho) thoả mãn:
$a+b+c+nabc \leq x_{1}^{3}+ x_{2}^{3}+... x_{n}^{3}\leq a+b+d+nabd$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 08-11-2012 - 23:45

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Không mất tính tổng quát giả sử $x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n$
Khi đó chọn $(a,b,c,d) = (x_1 , x_2 , x_3 , x_n)$
Ta chứng minh bộ này thỏa mãn bất đẳng thức trên .
Thật vậy với mọi $x \in (x_i)$ , ta có :
$(x-a)(x-b)(x-c) \geq 0 \Leftrightarrow x^3 - x^2(a+b+c)+x(ab+bc+ca)-abc \geq 0 $
$\Leftrightarrow x^2(a+b+c)+abc \leq x^3 +x(ab+bc+ca)$
Cho x chạy qua mọi giá trị từ $x_1 \to x_n$
$\Rightarrow (a+b+c)(\sum_{i=1}^{n}x_i^2) + nabc \leq \sum_{i=1}^{n} x_i^3 + (ab+bc+ca) (\sum_{i=1}^{n}x_i)$
Hay $a+b+c+nabc \leq \sum_{i=1}^{n} x_i^3$
Làm tương tự với chiều kia .
$\Rightarrow Q.E.D$