Cho a,b>0 thỏa mãn a+b=1
Tìm min $(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}$
min $(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}$
Bắt đầu bởi iloveyou123, 10-11-2012 - 18:28
#1
Đã gửi 10-11-2012 - 18:28
#2
Đã gửi 10-11-2012 - 18:39
Cho a,b>0 thỏa mãn a+b=1
Tìm min $(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}$
Ta có:$(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}\geq (\frac{a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2})^{2}\geq (\frac{a+b+\frac{4}{a+b}}{2})^2$
=>$(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}\geq \frac{25}{4}$
Dấu "=" xảy ra <=>$a=b=\frac{1}{2}$
- no matter what yêu thích
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#3
Đã gửi 10-11-2012 - 18:41
Áp dụng bđt $x^2+y^2\geq \frac{\left ( x+y \right )^2}{2}$ ta có $\left ( a+\frac{1}{a} \right )^2+\left ( b+\frac{1}{b} \right )^2\geq \frac{\left ( a+b+\frac{1}{a} +\frac{1}{b}\right )^2}{2}\geq \frac{\left ( a+b+\frac{4}{a+b} \right )^2}{2}=\frac{25}{2}$
- no matter what yêu thích
#4
Đã gửi 10-11-2012 - 19:07
ta có :Cho a,b>0 thỏa mãn a+b=1
Tìm min $(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}$
$(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2} \geq \frac{(a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b})^{2}}{2}$ (1)
$a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}= a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+\frac{3}{4} (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 2\sqrt{a.\frac{1}{a}}+2\sqrt{b.\frac{1}{b}}+\frac{3}{4}\frac{(1+1)^{2}}{a+b} \Rightarrow a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}\geq 5$
(2)
từ (1) và (2) ta có đpcm ^^
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 10-11-2012 - 19:08
- minhlaai29 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh