Đến nội dung

Hình ảnh

min $(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
iloveyou123

iloveyou123

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết
Cho a,b>0 thỏa mãn a+b=1
Tìm min $(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}$

#2
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

Cho a,b>0 thỏa mãn a+b=1
Tìm min $(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}$


Ta có:$(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}\geq (\frac{a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2})^{2}\geq (\frac{a+b+\frac{4}{a+b}}{2})^2$

=>$(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}\geq \frac{25}{4}$

Dấu "=" xảy ra <=>$a=b=\frac{1}{2}$

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#3
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
Áp dụng bđt $x^2+y^2\geq \frac{\left ( x+y \right )^2}{2}$ ta có $\left ( a+\frac{1}{a} \right )^2+\left ( b+\frac{1}{b} \right )^2\geq \frac{\left ( a+b+\frac{1}{a} +\frac{1}{b}\right )^2}{2}\geq \frac{\left ( a+b+\frac{4}{a+b} \right )^2}{2}=\frac{25}{2}$
Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#4
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

Cho a,b>0 thỏa mãn a+b=1
Tìm min $(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}$

ta có :
$(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2} \geq \frac{(a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b})^{2}}{2}$ (1)

$a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}= a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+\frac{3}{4} (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 2\sqrt{a.\frac{1}{a}}+2\sqrt{b.\frac{1}{b}}+\frac{3}{4}\frac{(1+1)^{2}}{a+b} \Rightarrow a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}\geq 5$
(2)

từ (1) và (2) ta có đpcm ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 10-11-2012 - 19:08





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh