Chủ đề này có 1 trả lời

[dark templar]

1 bài toán cũ rồi
Bài toán: Cho $a,b,c>0$.Chứng minh:
$$\left ( \frac{a}{2a+b} \right )^3+\left ( \frac{b}{2b+c} \right )^3+\left ( \frac{c}{2c+a} \right )^3 \ge \frac{1}{9}$$

[Joker9999]

1 bài toán cũ rồi
Bài toán: Cho $a,b,c>0$.Chứng minh:
$$\left ( \frac{a}{2a+b} \right )^3+\left ( \frac{b}{2b+c} \right )^3+\left ( \frac{c}{2c+a} \right )^3 \ge \frac{1}{9}$$

Giải như sau:
Dễ dàng đưa BDT trên về dạng
$\sum \frac{a^6}{(bc+2a^2)^3}\geq \frac{1}{9}$
Ta chuẩn hoá cho abc=1.
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta có:
$\sum \frac{a^6}{(bc+2a^2)^3}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{\sum 8a^6+12abc\sum a^3+18a^2b^2c^2+\sum b^3c^3}\geq \frac{1}{9}\Leftrightarrow \sum a^6+17\sum a^3b^3\geq 12abc\sum a^3+18a^2b^2c^2$
Đến đây ta dùng dồn biến:
$f(a,b,c)-f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)=(a^6+b^6-2a^3b^3)+17c^3(a^3+b^3-2\sqrt{a^3b^3})-12abc(a^3+b^3-2\sqrt{a^3b^3})\geq 0\Leftrightarrow (\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3})^2+17c^3-12abc\geq 0$
Theo AM-GM thì$(\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3})^2+17c^3-12abc\geq 2\sqrt{a^3b^3}+2\sqrt{a^3b^3}+17c^3\geq 3\sqrt[3]{68abc}>12abc$
Do đó $f(a,b,c)\geq f(\sqrt[3]{abc},\sqrt[3]{abc},\sqrt[3]{abc})=0$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
Chứng minh hoàn tất.