10 replies to this topic

[Alligator]

Có những tình huống thường xảy ra là khi giải những bài toán trong lãnh vực của mình, ta gặp phải những bài toán nhỏ (như phương trình hay hệ phương trình đại số hay lượng giác). Những bài này nhìn có vẻ đơn giản vì đã được học từ phổ thông, nhưng ta có thể làm sai nếu không cẩn thận. Thí dụ như tình huống sau đây:

Khi giải một bài toán dẫn nhiệt một chiều bằng phương pháp phân ly biến số, ta cần rút gọn biểu thức sau:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\beta_m>0 cho bởi phương trình (2).
Các hằng số L, a đều là số dương.
Yêu cầu của việc rút gọn là không còn hàm lượng giác trong biểu thức A.
Kết quả của bạn tính ra sẽ như thế nào?

[magic]

Cái này có lẽ phải post vào phần lượng giác ở PT thì các em mới giúp tìm đáp số đúng được . Giờ tính toán mấy cái này nhầm lẫn hết cả.

Cộng biểu thức (2) vào tử số của (1), rồi giản ước nhận được
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A=\cos(\beta_mL)
Từ điều kiện (2) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?tg(\beta_mL)=-a\beta_m
Nhận được http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A^2=\dfrac{1}{1+a^2\beta_m^2}

Edited by magic, 23-11-2005 - 02:41.

[Alligator]

Tới http://dientuvietnam...mimetex.cgi?A^2 thì vẫn đúng, nhưng vấn đề là tính ra A kia. Bạn magic thử tính ra A luôn đi, cẩn thận kẻo sai.
(Gợi ý: do những điều kiện ràng buộc nên ứng với mỗi m, biểu thức của A là duy nhất, không có kiểu nước đôi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\pm) Làm xong mình sẽ giải thích vì sao nó quan trọng, và một lỗi nhỏ có thể làm sai cả một bài toán lớn hơn.

[magic]

Đồng chí này lại làm khó anh em rồi. Mình học Mat_phys equations hơn 1 năm rồi, kiến thức cũng rụng gần hết. Lạ một cái là sao mình chưa bao giờ gặp biểu thức này nhỉ. Trong này phải chăng L là biên phải, mà các giá trị riêng hồi mình học là
Sau khi tìm cái này, dựa vào điều kiện ban đầu để tìm các hệ số trong chuỗi Furier, chẳng hiểu biểu thức của bạn Alligator xuất hiện lúc nào.
Với những tham số bạn đưa ra thì chưa đủ để kết luận về dấu của A. Bạn cụ thể hơn một chút, hoặc nhắc lại về Mat-phys equations một chút càng hay.
Giờ mình đang học PDE (phương trình ĐH riêng) nhưng chẳng làm bài tập khi nào cả

[Alligator]

Phương trình xác định trị riêng dạng sin hay cos để cho giá trị riêng (eigenvalues) như magic nói trên xuất hiện khi có các điều kiện biên Dirichlet (ràng buộc giá trị trên biên) hay Neumann (ràng buộc đạo hàm trên biên). Phương trình xác định trị riêng sẽ có dạng phức tạp hơn như trong bài ra khi có điều kiện biên Robin (điều kiện biên hỗn hợp có chứa cả giá trị và đạo hàm của biến phụ thuộc). Trong bài toán dẫn nhiệt thì điều kiện biên này tương ứng với điều kiện có đối lưu nhiệt trên biên.
Lời giải của bài toán dẫn nhiệt (heat conduction) một chiều trong không gian đóng thường dẫn tới một chuỗi vô hạn có chứa biểu thức A trên cần được rút gọn.
Điều kiện thì cho như trên đủ rồi, với mỗi chỉ số m nhất định, A chỉ nhận một dấu cộng hay trừ thôi (chính xác hơn có lẽ nên đặt là http://dientuvietnam...mimetex.cgi?A_m vì A phụ thuộc m). Để thêm một lúc, nếu chưa có bạn nào giải... sai (hoặc đúng ) để mình... bắt lỗi thì mình sẽ tự trình bày vậy.

Bài toán: xác định biểu thức , biết rằng

với điều kiện

,
,

[hoadaica]

choáng!!

[Alligator]

Bạn hoadaica choáng là vì... dễ quá à?
Mình cho kết quả luôn:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(-1)^m, từ đó dẫn tới kết quả của bài toán lớn hơn bị sai.

Thí dụ:
Bài toán dẫn nhiệt một chiều (theo phương bán kính) trong khối cầu rỗng giới hạn bởi mặt cầu trong bán kính http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?a và mặt cầu ngoài bán kính http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?b; mặt trong chịu luồng nhiệt (heat flux) phân bố đều http://dientuvietnam...mimetex.cgi?F_0, mặt cầu ngoài được giữ ở nhiệt độ bằng 0; nhiệt độ ban đầu là 0 trên toàn khối.
Kết quả cho bởi [1] là
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(-1)^m như thế nào (xét dấu ra sao mà có?)

Reference
1. Carslaw, H.S., and Jaeger, J.C., 1986, Conduction of Heat in Solids, 2nd ed., Clarendon Press, Oxford, 1986, p. 247.

[magic]

Công nhận đáp số của đồng chí Alligator.
Còn cái dấu http://dientuvietnam...mimetex.cgi?(-1)^m thì mình giải thích thế này.
Từ điều kiện http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?tg(L\beta_m)=-a\beta_m có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{tgx}{x} tăng trên các khoảng xác định của mình mà http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\beta_m là tất cả các giá trị có thể có, và đánh số từ nhỏ đến lớn nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\gamma_m như vậy nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A=cos\gamma_m cùng dấu với http://dientuvietnam...mimetex.cgi?(-1)^m

bạn hoadaica chóang vì không hiểu sao đồng chí Alligator lại post vấn đề đơn giản thế này vào phần dành cho SV ĐH đấy mà

Edited by magic, 24-11-2005 - 01:21.

[Alligator]

Để bài này trong chỗ phổ thông cũng được, nhưng về sau có nói thêm những đoạn lằng nhằng e không tiện. Với lại ý là nhân khi làm bài khác lại xuất hiện những bài này, đôi khi không biết trước là nó thuộc phần nào và phải dùng những kiến thức gì để giải, và có thể không đơn giản như mình tưởng lúc đầu.
Bạn magic giải thích đúng rồi, mình vẽ thêm cái hình để dễ hình dung, nhân tiện giới thiệu lệnh vẽ đồ thị trong Maple cho bạn nào quan tâm. Để thuận tiện có thể viết phương trình xác định trị riêng dưới dạng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\gamma_{m} của magic)
Đồ thị vẽ cho giá trị minh họa . Nghiệm của phương trình trên chính là giao điểm của 2 đồ thị vế phải và vế trái. Trên đồ thị có thể thấy là phương trình có nghiệm duy nhất trong mỗi khoảng .

Attached Images

• 

[Alligator]

Bài 2:
Tìm giá trị chính xác của
a)

b)

cho biết: , ,

[magic]

Tính câu a) của Alligator đã
từ điều kiện http://dientuvietnam...metex.cgi?tgx=x khai triển http://dientuvietnam...x.cgi?sinx,cosx thành chuỗi nhận được
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots=x(1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots)
Tất cả nghiệm của pt này là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0,\pm\beta_m do đó có thể viết
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots-x(1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots)=\dfrac{1}{3}x^3(1-\dfrac{x^2}{\beta_1^2})(1-\dfrac{x^2}{\beta_2^2})\cdots
Cân bằng hệ số của http://dientuvietnam...metex.cgi?x^5sẽ có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sum\limits_{m=1}^{\infty}\dfrac{1}{\beta_m^2}=\dfrac{1}{10}

Edited by magic, 24-11-2005 - 17:45.