Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh:$$\lim_{k \to +\infty}f_{k}(x)=1$$

for all

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 11-11-2012 - 20:52

Bài toán: Xét khai triển hàm số sau:
$$f_{k}(x)=1-\frac{x^2}{k}+\frac{x^4}{2!k(k+1)}-\frac{x^6}{3!k(k+1)(k+2)}+....$$
Chứng minh với mỗi số thực $x$,ta có $\lim_{k \to +\infty}f_{k}(x)=1$.
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1958 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 27-06-2017 - 10:18

Bài toán: Xét khai triển hàm số sau:
$$f_{k}(x)=1-\frac{x^2}{k}+\frac{x^4}{2!k(k+1)}-\frac{x^6}{3!k(k+1)(k+2)}+....$$
Chứng minh với mỗi số thực $x$,ta có $\lim_{k \to +\infty}f_{k}(x)=1$.

Trong khai triển của $f_{k}(x)$, từ số hạng thứ hai ($-\frac{x^2}{k}$) trở đi có dạng tổng quát là $\frac{(-1)^mx^{2m}}{m!k(k+1)(k+2)...(k+m-1)}$

Với mỗi số thực $x$ (tức là $x$ là số thực cố định), khi $k\to+\infty$ thì :

$\lim_{k\to+\infty}\frac{(-1)^mx^{2m}}{m!k(k+1)(k+2)...(k+m-1)}=\frac{(-1)^mx^m}{m!}.\lim_{k\to+\infty}\frac{x^m}{k(k+1)(k+2)...(k+m-1)}=0$

Điều đó có nghĩa là khi $k\to+\infty$ và $x$ cố định thì tất cả các số hạng từ thứ hai trở đi sẽ tiến đến $0$.

Vậy với mỗi số thực $x$, ta có $\lim_{k\to+\infty}f_k(x)=1$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-06-2017 - 19:13

Trong khai triển của $f_{k}(x)$, từ số hạng thứ hai ($-\frac{x^2}{k}$) trở đi có dạng tổng quát là $\frac{(-1)^mx^{2m}}{m!k(k+1)(k+2)...(k+m-1)}$

Với mỗi số thực $x$ (tức là $x$ là số thực cố định), khi $k\to+\infty$ thì :

$\lim_{k\to+\infty}\frac{(-1)^mx^{2m}}{m!k(k+1)(k+2)...(k+m-1)}=\frac{(-1)^mx^m}{m!}.\lim_{k\to+\infty}\frac{x^m}{k(k+1)(k+2)...(k+m-1)}=0$

Điều đó có nghĩa là khi $k\to+\infty$ và $x$ cố định thì tất cả các số hạng từ thứ hai trở đi sẽ tiến đến $0$.

Vậy với mỗi số thực $x$, ta có $\lim_{k\to+\infty}f_k(x)=1$.

 

Bạn làm chưa đúng, khi làm việc với chuỗi ta cần cẩn thận. Ví dụ như bây giờ cho "chuỗi" (tổng hình thức)

\[ f(x) = 1 + \dfrac{x}{k} + \dfrac{x^2}{k} +  \dfrac{x^3}{k} + \cdots, \]

thì theo cách lập luận trên, khi ta cố định một số $x > 1$ nào đó, từng số hạng vẫn tiến đến 0 khi $k \to \infty$, nhưng ta không thể kết luận được gì về tính hội tụ của tổng vô hạn trên (vì $x> 1$ nên nó tiến ra vô cùng).

 

Cần làm kĩ hơn một tẹo như thế này, khi ta cố định $x$ rồi, sẽ tồn tại $N$ đủ lớn để $N > \text{max} \{1, x^4\}$, xét $k > N$. Khi đó ta có đánh giá cho số hạng thứ $n+1$ của tổng (kí hiệu là $x_n$, số hạng đầu tiên $1 = x_0$)

\[ |x_n| = \dfrac{ x^{2n}}{n! k\cdots (k+n-1)} < \dfrac{x^{2n}}{n! k^{n}} < \dfrac{1}{\sqrt{k}} \dfrac{x^{2n}}{n! k^{n-1/2}} < \dfrac{1}{\sqrt{k}} \dfrac{1}{n!} \]

do $k^{n-1/2} \geq k^{n/2} > x^{2n}$ với $n\geq 1$. Suy ra 

\[ \left| \sum_{n=1}^{\infty} x_n \right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} |x_n| \leq \dfrac{1}{\sqrt{k}} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n!} < \dfrac{2}{\sqrt{k}} \to 0 \,\,\, (\text{khi } k\to \infty), \]

Vậy $\lim_{k\to \infty} \sum_{n=1}^{\infty} x_n= 0$.

Tóm lại, với $x$ cố định thì

 $$\lim_{k\to \infty} f_k(x) = 1.$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 29-06-2017 - 19:19

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#4 NeverDiex

NeverDiex

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

Đã gửi 26-07-2019 - 10:11

Trong khai triển của fk(x)fk(x), từ số hạng thứ hai (x2k−x2k) trở đi có dạng tổng quát là (1)mx2mm!k(k+1)(k+2)...(k+m1)(−1)mx2mm!k(k+1)(k+2)...(k+m−1)

Với mỗi số thực xx (tức là xx là số thực cố định), khi k+k→+∞ thì :

limk+(1)mx2mm!k(k+1)(k+2)...(k+m1)=(1)mxmm!.limk+xmk(k+1)(k+2)...(k+m1)=0limk→+∞(−1)mx2mm!k(k+1)(k+2)...(k+m−1)=(−1)mxmm!.limk→+∞xmk(k+1)(k+2)...(k+m−1)=0

Điều đó có nghĩa là khi k+k→+∞ và xx cố định thì tất cả các số hạng từ thứ hai trở đi sẽ tiến đến 00.

Vậy với mỗi số thực xx, ta có limk+fk(x)=1limk→+∞fk(x)=1.

...


 

 





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: for all

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh