Tổng $AM+BN+MN$ nhỏ nhất
#1
Đã gửi 12-11-2012 - 21:01
- perfectstrong, BlackSelena và BoBoiBoy thích
#2
Đã gửi 15-07-2017 - 07:34
Cho một góc nhọn $xOy$ nhỏ hơn $45^{o}$ và một đường tròn $(I)$ thuộc miền trong của góc nhọn đó. Hãy dựng điểm $M$ trên tia $Oy$, điểm $N$ trên tia $Ox$ và các điểm $A$, $B$ thuộc $(I)$ sao cho tổng $AM+BN+MN$ nhỏ nhất
Phân tích :
$AM+BN+MN$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow IA+AM+MN+NB+BI$ nhỏ nhất.
Mà $IA+AM+MN+NB+BI\geqslant IM+MN+NI$
Cách dựng :
- Dựng điểm $I'$ đối xứng với $I$ qua tia $Ox$.
- Dựng điểm $I''$ đối xứng với $I'$ qua tia $Oy$.
- Dựng điểm $M$ là giao điểm của $I''I$ và $Oy$.
- Dựng điểm $N$ là giao điểm của $MI'$ và $Ox$.
- Điểm $A$ chính là giao điểm của đoạn $IM$ và đường tròn $(I)$.
- Điểm $B$ chính là giao điểm của đoạn $IN$ và đường tròn $(I)$.
Chứng minh :
Gọi $N'$ là điểm đối xứng của $N$ qua tia $Oy\Rightarrow N'$ thuộc đoạn $I''M$.
Lấy điểm $P,Q$ bất kỳ lần lượt thuộc các tia $Ox$ và $Oy$, ta cần chứng minh $IP+PQ+QI\geqslant IM+MN+NI$
Gọi $P'$ là điểm đối xứng của $P$ qua tia $Oy$. Ta có :
$IP+PQ+QI=I'P+PQ+QI=I''P'+P'Q+QI\geqslant I''I=I''N'+N'M+MI$
$=I'N+NM+MI=IN+NM+MI$ (đpcm).
Biện luận :
Theo cách dựng trên thì bài toán chỉ có đúng $1$ nghiệm hình.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 15-07-2017 - 09:38
- Element hero Neos, redfox và didifulls thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh