Đến nội dung

Hình ảnh

Trong khai triển $(x+\frac{1}{x})^{20}+(x-\frac{1}{x^{2}})^{20}$ có bao nhiêu số hạng?

- - - - - nhị thức newton

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Gioi han

Gioi han

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết
Trong khai triển $(x+\frac{1}{x})^{20}+(x-\frac{1}{x^{2}})^{20}$ có bao nhiêu số hạng?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhang28091996: 13-11-2012 - 19:42


#2
Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết

Trong khai triển $(x+\frac{1}{x})^{20}+(x-\frac{1}{x^{2}})^{20}$ có bao nhiêu số hạng?


Để thuận tiện,ta viết $\frac{1}{x^k}=x^{-k}$
Ta có:
$(x+\frac{1}{x})^{20}=C^0_{20}x^{20}+C^1_{20}x^{19}+...+C^{20}_{20}$ (Dãy $1$)
$(x-\frac{1}{x^{2}})^{20}=C^0_{20}x^{20}+(-1)^1C^1_{20}x^{18}+...+(-1)^{10}C^{10}_{20}+(-1)^{11}C^{11}_{20}x^{-2}+..+(-1))^{20}C^{20}x_{20}x^{-20}$ (Dãy $2$)
Nhận xét:
Trong $2$ dãy trên có nhiều nhất một cặp số đối nhau,tức có tổng $=0$ do $C^k_n=C^{n-k}_n$
Giả sử cặp số đó là $C^k_{20}x^{20-k}$ (dãy $1$) và $(-1)^{20-k}C^{20-k}_{20}x^t$ (dãy $2$)
Vì $t$ chẵn nên nhất định $20-k$ chẵn.Nhưng nếu vậy thì $(-1)^{20-k}C^{20-k}_{20}x^t>0$.
Vậy trong $2$ dãy trên không có cặp nào có tổng bằng $0$.
Vậy có tất cả:$21+10=31$ số hạng.

Hình đã gửi


#3
Gioi han

Gioi han

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết

Để thuận tiện,ta viết $\frac{1}{x^k}=x^{-k}$
Ta có:
$(x+\frac{1}{x})^{20}=C^0_{20}x^{20}+C^1_{20}x^{19}+...+C^{20}_{20}$ (Dãy $1$)
$(x-\frac{1}{x^{2}})^{20}=C^0_{20}x^{20}+(-1)^1C^1_{20}x^{18}+...+(-1)^{10}C^{10}_{20}+(-1)^{11}C^{11}_{20}x^{-2}+..+(-1))^{20}C^{20}x_{20}x^{-20}$ (Dãy $2$)
Nhận xét:
Trong $2$ dãy trên có nhiều nhất một cặp số đối nhau (tại sao nhỉ?),tức có tổng $=0$ do $C^k_n=C^{n-k}_n$
Giả sử cặp số đó là $C^k_{20}x^{20-k}$ (dãy $1$) và $(-1)^{20-k}C^{20-k}_{20}x^t$ (dãy $2$)
Vì $t$ chẵn nên nhất định $20-k$ chẵn.Nhưng nếu vậy thì $(-1)^{20-k}C^{20-k}_{20}x^t>0$.
Vậy trong $2$ dãy trên không có cặp nào có tổng bằng $0$.
Vậy có tất cả:$21+10=31$ số hạng.

Đọc lại 1 hồi thì thấy một số thắc mắc!

#4
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Trong khai triển $(x+\frac{1}{x})^{20}+(x-\frac{1}{x^{2}})^{20}$ có bao nhiêu số hạng?

$$(x-\frac{1}{x^2})^{20}=\sum_{k=0}^{20}(-1)^kC_{20}^kx^{20-k}.x^{-2k}=(-1)^k\sum_{k=0}^{20}x^{20-3k}$$
$$(x+\frac{1}{x^2})^{20}=\sum_{l=0}^{20}(1)^lC_{20}^lx^{-20+l}.x^{l}=\sum_{l=0}^{20}x^{-20+2l}$$
Cho $-20+2l =20-3k \Rightarrow l=\frac{40-3k}{2}$
Tìm các số hạng có lũy thừa bằng nhau trong hai khai triển
$k=2 \to l=17$
$k=4 \to l=14$
$k=6 \to l=11$
$k=8 \to l=8$
$k=10 \to l=5$
$k=12 \to l=2$
Vậy có $21+21-6 =36$ số hạng.

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: nhị thức newton

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh