Chủ đề này có 1 trả lời

[iloveyou123]

Cho $\bigtriangleup ABC$$\bigtriangleup ABC$ và M nằm trong tam giác. BC=a,CA=b,Ab=c
Gọi khoảng cách từ M=>BC là x, M=>AC là y,M=>AB là z.
cmr $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2R}}$ ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp) và $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})2S}{abc}}$ (S là diện tích tam giác) có giống nhau không vâyhj(Nếu giống biến đổi kiểu gì vậy?

[WhjteShadow]

Cho $\bigtriangleup ABC$$\bigtriangleup ABC$ và M nằm trong tam giác. BC=a,CA=b,Ab=c
Gọi khoảng cách từ M=>BC là x, M=>AC là y,M=>AB là z.
cmr $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2R}}$ ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp) và $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})2S}{abc}}$ (S là diện tích tam giác) có giống nhau không vâyhj(Nếu giống biến đổi kiểu gì vậy?

ĐẲng thức quen thuộc $R=\frac{abc}{4S}$ mà bạn
Ta có điều phải chứng minh tương đương:
$$\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\leq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})2S}{abc}$$
Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ và để ý $ax+by+cz=2S$ ta có:
$$\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\leq (ax+by+cz).\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$$
$$=2S.\frac{ab+bc+ca}{abc}\leq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})2S}{abc}$$
Kết thúc chứng minh.Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c$,tam giác của ta là tam giác đều $\square$