Chủ đề này có 3 trả lời

[anhdung182192]

1)
$\int_{1}^{e} \frac{\ln ^2x+e^x(e^x+\ln ^2x)}{1+e^x}dx$

2)
$\int_{1}^{2\sqrt{2}}\frac{\sqrt[3]{x-x^3}+2013x}{x^3}dx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhdung182192: 16-11-2012 - 10:42

[dark templar]

1)
$\int_{1}^{e} \frac{\ln ^2x+e^x(e^x+\ln ^2x)}{1+e^x}dx$

2)
$\int_{1}^{2\sqrt{2}}\frac{\sqrt[3]{x-x^3}+2013x}{x^3}dx$

Bài 1 ta xét phân tích sau:
$$ \frac{\ln ^2x+e^x(e^x+\ln ^2x)}{1+e^x}=\ln^2{x}+\frac{e^{2x}}{1+e^{x}}$$
Như vậy:
$$I_1=\int_{1}^{e}\ln^2{x}dx+\int_{1}^{e}\frac{e^{2x}dx}{1+e^{x}}$$
Tích phân sau rất dễ,chỉ cần để ý rằng:$e^{x}dx=d(e^{x})$,ta chỉ quan tâm đến tích phân đầu.
Đổi biến $\ln{x}=t \implies dx=e^{t}dt$
Suy ra:
$$\int_{1}^{e}\ln^2{x}dx=\int_{0}^{1}t^2e^{t}dt=\int_{0}^{1}t^2d(e^{t})$$
Đến đây chỉ là công đoạn tích phân từng phần thôi

Bài 2 thì đơn giản là đặt $t=\frac{1}{x}$.

[anhdung182192]

mình chưa hiểu bài 2 lắm .

[tienvuviet]

mình chưa hiểu bài 2 lắm .

Ta có $\dfrac{\sqrt[3]{x-x^3}+2013x}{x^3}$

$= \dfrac{\sqrt[3]{x-x^3}}{x^3} + \dfrac{2013x}{x^3}$

$= \dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{1}{x^2}- 1}}{x^2} + \dfrac{2013}{x^2}$. Vậy

$I = \displaystyle \int_{1}^{2\sqrt{2}} \dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{1}{x^2}- 1}}{x^2} + \displaystyle \int_{1}^{2\sqrt{2}} \dfrac{2013}{x^2} = I_1 + I_2$

Tích phân $I_2$ dễ tự tính

Tính $I_1 =\displaystyle \int_{1}^{2\sqrt{2}} \dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{1}{x^2}- 1}}{x^2}$

Đặt $\dfrac{1}{x} = t \Rightarrow dt = -\dfrac{dx}{x^2}$ thay vào ta được

$I_1 = -\displaystyle \int_{1}^{2\sqrt{2}} \sqrt[3]{t^2 - 1}dt$

Đặt $t = \sin u \Rightarrow \cos u du = dt$

$I_1 = -\displaystyle \int_{a}^{b} \sqrt[3]{-\cos^2 u}.\cos u du$

$I_1 = \displaystyle \int_{a}^{b}\cos^{\dfrac{5}{3}} u du$

Bạn tự tính cận xong thay vô nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienvuviet: 16-11-2012 - 15:08