Đến nội dung

Hình ảnh

[MSS2013] Trận 13 - Phương trình nghiệm nguyên - đồng dư


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 02/11/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:

1) Trận 13 có 20 toán thủ tham gia nên sau trận này sẽ không toán thủ nào bị loại :D

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

3) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ nào tự ý sửa bài làm của mình sẽ được 0 điểm

4) Từ trận 8, Điều lệ có sự thay đổi, cụ thể như sau:

- Sau mỗi trận, sẽ có một số toán thủ bị loại theo thứ tự ưu tiên sau:
+ Điểm xét bị loại thấp hơn
+ Tham gia lâu hơn mà chưa ra đề
+ Số báo danh nhỏ hơn

- Gọi $D_{rd}$ là điểm của toán thủ ra đề:
$$D_{rd}= 4*\left (t_{lb1} - t_{bd} \right ) + 3*n_{klb} + 2*n_{mr} + 30$$

* Gọi $S$ là điểm của toán thủ làm bài.
$$S = \left [\frac{52 - \left (t_{lb} - t_{rd} \right )}{2} \right ]+3*d+d_{mr}+d_{t}$$
Trong đó:
Kí hiệu $[x]$ chỉ phần nguyên của số thập phân $x$.



#2
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Đề bài của BTC:

Giải phương trình nghiệm nguyên:
$$x^4+6x^3+14x^2+20x-4xy-16y+4y^2+20=0$$

#3
ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết
Tính y theo x dựa vào Delta
$y = \frac{\pm\sqrt{-x^4-6 x^3-13 x^2-12 x-4}+x+4}{2} = \frac{\pm \sqrt{-(x+1)^2 (x+2)^2}+x+4}{2}$ (1)
mà $(x+1)^2 (x+2)^2$ không âm => $x+1 = 0$ => x = -1
Hoặc x + 2 = 0 => x = -2
Thay x = -1 vào (1) => y =1,5 (loại)
Thay x = -2 vào (1) => y = 1 (nhận)
Vậy (x;y)=(-2;1)
----
Đề lần này dễ quá :D

________________________
Bài làm quá vắn tắt, trình bày cẩu thả thiếu chính xác!
Rèn luyện thói quen sử dụng $\LaTeX$ 100% trong bài viết.
Điểm bài làm: $d=9$

$S=\left\lfloor\dfrac{52-0}{2}\right\rfloor+3\times 9+0+0=53$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 22-11-2012 - 10:11
Chấm điểm

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 


#4
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
Bài làm của daovuquang:
Phương trình bài cho:
$x^4+6x^3+14x^2+20x-4xy-16y+4y^2+20=0$
$\Leftrightarrow 4y^2-4(x+4)y+(x^4+6x^3+14x^2+20x+20)=0\; (1)$.
Xét $\Delta_y=16(x+4)^2-16(x^4+6x^3+14x^2+20x+20)=-16(x^4+6x^3+13x^2+12x+4)$.
Phương trình $(1)$ có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta_y \geq 0$.
Mà $\Delta_y=-16[(x^4+3x^3+2x^2)+(3x^3+9x^2+6x)+(2x^2+6x+4)]=-16(x^2+3x+2)^2 \leq 0$.
Suy ra dấu đẳng thức phải xảy ra hay $\Delta_y=0$
$\Leftrightarrow -16(x^2+3x+2)^2=0$
$\Leftrightarrow x^2+3x+2=0$
$\Leftrightarrow (x+1)(x+2)=0$
$\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=-2$.
Nhận xét: nghiệm của phương trình $(1)$ là $y=\frac{4(x+4)\pm \sqrt{\Delta_y}}{8}=\frac{x+4}{2}$.
Xét $x=-1$ thì $y=\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2} \Rightarrow y$ không là số nguyên $\Rightarrow$ loại.
Xét $x=-2$ thì $y=\frac{-2+4}{2}=1$ (thỏa mãn).
Kết luận: Vậy $(x;y)=(-2;1)$.
_____________________
Điểm bài làm: $d=10$

$S=\left\lfloor\dfrac{52-0}{2}\right\rfloor+3\times 10 + 0 +10=66$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 22-11-2012 - 10:15
Chấm điểm


#5
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết

Đề bài của BTC:

Giải phương trình nghiệm nguyên:
$$x^4+6x^3+14x^2+20x-4xy-16y+4y^2+20=0$$

Bài làm :
$x^4+6x^3+14x^2+20x-4xy-16y+4y^2+20=0$
$\Leftrightarrow 4y^2 -4y(4+x) +x^4 +6x^3 +14x^2 +20x+ 20=0$
Xét $\Delta_{y} =[4(4+x)]^2 -16(x^4 +6x^3 +14x^2 +20x +20)=16[x^2 +8x+16 -(x^4 +6x^3 +14x^2 +20x +20)] =16[-x^4 -6x^3 -13x^2 -12x -4] =-16(x^4 +6x^3 +13x^2 +12x +4] =-16[(x^2+3x)^2 +4(x^2+3x) +4] =-16(x^2+3x+2)^2$
Do $\Delta = -16(x^2+3x+2)^2 \leq 0 \forall x $
Vậy Với $\Delta < 0 \Rightarrow PT$ vô nghiệm .
Với $\Delta = 0 \Leftrightarrow x^2 +3x +2 =(x+1)(x+2) =0 \Leftrightarrow x= -1$ hoặc $x =-2$
$\Rightarrow PT$ có nghiệm là :
Với $x= -1 $
$\Rightarrow y =\frac{4(4+x) \pm 0}{8} = \frac{4(4-1)}{8} =\frac{12}{8} :\text{Không thuộc Z $\Rightarrow$ Loại}$
Với $x =-2 $
$\Rightarrow y =\frac{4(4-2) \pm 0}{8} = 1 :\text{Thỏa mãn}$
Tóm lại $(x,y) =(-2; 1)$
______________________
Điểm bài làm: $d=10$

$S=\left\lfloor\dfrac{52-1}{2}\right\rfloor+3\times 10+0+0=55$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 22-11-2012 - 10:17
Chấm điểm


#6
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
Bài làm của MSS01- BlackSelena
Viết lại phương trình:
$4y^2 - y(4x+16) + (x^4 + 6x^3 + 14x^2 + 20x + 20)$ $\quad=0?$
Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn y, ta có
$\Delta' = (2x+8)^2 - 4.(x^4 + 6x^3 + 14x^2 + 20x+20)$
$= -4(x^2+3x+2)^2 \leq 0$
Vậy để phương trình có nghiệm thì $x^2 +3x + 2 = 0$
$\Leftrightarrow x = -1, x = -2$
Thay vô phương trình ban đầu, ta tính được
Với $x = -1$ thì $y = \frac{3}{2}$: loại do $y$ nguyên
Với $x =-2$ thì $y= -1$.$\qquad y=1$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y) = (-2;-1)$ $\qquad\text{Sai!}$
___________________
Sai lầm đáng tiếc!
Điểm bài làm: $d=6$

$S=\left\lfloor\dfrac{52-1}{2}\right\rfloor+3\times 6+0+0=43$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 22-11-2012 - 10:22
Chấm điểm


#7
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
Lời giải khác:
Phương trình bài cho:
$x^4+6x^3+14x^2+20x-4xy-16y+4y^2+20=0$
$\Leftrightarrow (x^4+6x^3+13x^2+12x+4)+(x^2+4y^2-4xy+8x-16y+16)=0$
$\Leftrightarrow [(x^2+3x)^2+4(x^2+3x)+4]+[(x-2y)^2+8(x-2y)+16]=0$
$\Leftrightarrow (x^2+3x+2)^2+(x-2y+4)^2=0\; (1)$.
Nhận thấy $VT(1)\geq VP(1)$ nên dấu bằng phải xảy ra:
$\left\{\begin{matrix}
x^2+3x+2=0\; (2)\\
x-2y+4=0\; (3)
\end{matrix}\right.$
Ta có: $(2)\Leftrightarrow (x+1)(x+2)=0$
$\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=-2$.
Mặt khác, $(3) \Leftrightarrow y=\frac{x+4}{2}$.
Xét $x=-1$ thì $y=\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2}$. Vì $y$ không là số nguyên $\Rightarrow$ loại.
Xét $x=-2$ thì $y=\frac{-2+4}{2}=1$ (chọn).
Kết luận: Vậy hệ có nghiệm $(x;y)=(-2;1)$.
________________
Điểm thưởng: $d_t=10$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 22-11-2012 - 10:12
Chấm điểm


#8
NGUYEN MINH HIEU TKVN

NGUYEN MINH HIEU TKVN

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết

Đề bài của BTC:

Giải phương trình nghiệm nguyên:
$$x^4+6x^3+14x^2+20x-4xy-16y+4y^2+20=0$$

==============================================================
Em xin Giải bài toán này như sau:
Ta có
$$x^4+6x^3+14x^2+20x-4xy-16y+4y^2+20=0$$ (*)
Biến đổi phương trình đã cho về phương trình sau ( bằng cách nhóm và thêm bớt)
(*) $\Leftrightarrow $ $(x^{2}+3x+1)^{2}+2(x-y+3)^{2}+(x+1)^{2}+2(y-1)^{2}=2$ (1)
Xét thấy $2(y-1)^{2}\leq 2$ $\quad\quad\text{???}$ Làm sao mà kết luận vậy? Thử cho $y\ge 3$ xem?
$\Leftrightarrow (y-1)^{2}\leq 1$
$\Rightarrow$ $(y-1) ^{2}=$ ={ 1; 0}
Xét $(y-1) ^{2}=$ 1 => y = 0 hoặc 2
Khi đó (1) => $(x^{2}+3x+1)^{2}+3(x+1)^{2}$ = 0
=> $\left\{\begin{matrix} x+1 =0 & \\ x^{2}+3x+1 =0& \end{matrix}\right.$
=> phương trình vô nghiệm
Xét y - 1=0 => y =1
Khi đó (1) $\Leftrightarrow (x^{2}+3x+1)^{2}+2(x+3)^{2}+(x+1)^{2}=2$
xét thấy $(x+3)^{2}> (x+1)^{2} \Rightarrow 2(x+3)^{2}> (x+1)^{2}$
mà $2(x+3)^{2}+(x+1)^{2}\leq 2$
=> $\left\{\begin{matrix} (x+3)^{2}=1 & \\ (x+1)^{2}=0& \end{matrix}\right.$
=> $\left\{\begin{matrix} x={-2 ; -4} & \\ x=-1 & \end{matrix}\right.$
=> vô nghiệm
Kết luận : Vậy phương trình không có nghiệm nguyên
=======================
Không chắc chắn lắm :mellow:
_______________________________
Yêu cầu không sử dụng "mực" đỏ trong bài làm
Điểm bài làm: $d=1$

$S=\left\lfloor\dfrac{52-17}{2}\right\rfloor+3\times 1+0+0=20$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 22-11-2012 - 10:33
Chấm điểm


#9
BlackBot

BlackBot

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Đề bài của BTC:

Giải phương trình nghiệm nguyên:
$$x^4+6x^3+14x^2+20x-4xy-16y+4y^2+20=0$$

Bài làm :
$x^4+6x^3+14x^2+20x-4xy-16y+4y^2+20=0$
$\Leftrightarrow 4y^2 -4y(4+x) +x^4 +6x^3 +14x^2 +20x+ 20=0$
Xét $\Delta_{y} =[4(4+x)]^2 -16(x^4 +6x^3 +14x^2 +20x +20)=16[x^2 +8x+16 -(x^4 +6x^3 +14x^2 +20x +20)] =16[-x^4 -6x^3 -13x^2 -12x -4] =-16(x^4 +6x^3 +13x^2 +12x +4] =-16[(x^2+3x)^2 +4(x^2+3x) +4] =-16(x^2+3x+2)^2$
Do $\Delta = -16(x^2+3x+2)^2 \leq 0 \forall x $
Vậy Với $\Delta < 0 \Rightarrow PT$ vô nghiệm .
Với $\Delta = 0 \Leftrightarrow x^2 +3x +2 =(x+1)(x+2) =0 \Leftrightarrow x= -1$ hoặc $x =-2$
$\Rightarrow PT$ có nghiệm là :
Với $x= -1 $
$\Rightarrow y =\frac{4(4+x) \pm 0}{8} = \frac{4(4-1)}{8} =\frac{12}{8} :\text{Không thuộc Z $\Rightarrow$ Loại}$
Với $x =-2 $
$\Rightarrow y =\frac{4(4-2) \pm 0}{8} = 1 :\text{Thỏa mãn}$
Tóm lại $(x,y) =(-2; 1)$
_____________________
Điểm làm bài: $d=10$

$S=\left\lfloor\dfrac{52-49}{2}\right\rfloor+3\times 10+0+0=31$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 22-11-2012 - 10:36
Chấm điểm


#10
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Trận đấu đã kết thúc!

#11
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Trận này đã chấm điểm xong:
$\fbox{Nhận xét}$
- Đây là một bài toán tương đối dễ, tuy vậy vẫn có toán thủ làm sai!
- Lời giải của các toán thủ dùng phương pháp tính $\Delta_y$, tuy vậy sự phân tích $\Delta_y$ dạng bậc $4$ của $x$ thành nhân tử thì không thấy "tự nhiên" cho lắm!
- Lời giải thứ 2 của daovuquang trùng khớp với đáp án của BTC

...
$\Leftrightarrow (x^2+3x+2)^2+(x-2y+4)^2=0\; (1)$.
...

- Giả sử đề của BTC cho ở VP của $(1)$ không phải là $0$ mà là $25$ chẳng hạn?
________________
P/s: Các toán thủ có $24$ giờ để thắc mắc, khiếu lại về bài làm của mình




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh