7 replies to this topic

[diepviennhi]

Giải phương trình : $\sqrt{x-\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=2$

Edited by diepviennhi, 17-11-2012 - 19:43.

[VNSTaipro]

Giải phương trình : $\sqrt{x-\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=2$

$\sqrt{x-\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=2$ hay $\sqrt{x-\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{x^{2}-1}}=2$ vậy bạn?

[diepviennhi]

Đề mình vừa sửa lại rồi.bạn xem lại đi.là dấu +

[provotinhvip]

xét hàm $f(x)=\sqrt{x-\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}$
$\Rightarrow f'(x)=\frac{1-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{2\sqrt{x-\sqrt{x-1}}}+\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}}> 0$
nên f(x) đồng biến trên x$\geq$1 nên pt $$\sqrt{x-\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=2$$ có 1 nghiệm duy nhất
mà ta có x=1 thỏa!!!

Edited by provotinhvip, 17-11-2012 - 21:45.

[VNSTaipro]

Giải phương trình : $\sqrt{x-\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=2$

$(\sqrt{x-\sqrt{x-1}}-1) + (\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}-1)=0$
$=>\frac{((x-1)-\sqrt{x-1})}{(\sqrt{x-\sqrt{x-1}}+1)}+\frac{(x-1)+\sqrt{x^{2}-1}}{(\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}+1)}= 0$
=>$\sqrt{x-1}(\frac{\sqrt{x-1}-1}{{(\sqrt{x-\sqrt{x-1}}+1)}}+\frac{\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}+1)})=0$
=>pt có nghiệm duy nhất là x=1 (biểu thức trong ngoặc > 0)

Edited by VNSTaipro, 18-11-2012 - 10:40.

[thanhson95]

xét hàm $f(x)=\sqrt{x-\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}$
$\Rightarrow f'(x)=\frac{1-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{2\sqrt{x-\sqrt{x-1}}}+\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}}> 0$
nên f(x) đồng biến trên x$\geq$1 nên pt $$\sqrt{x-\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=2$$ có 1 nghiệm duy nhất
mà ta có x=1 thỏa!!!

Bạn ơi cái $f'(x)$ phân thức bên trái chưa chắc đã lớn hơn 0 bạn nhé.

Edited by thanhson95, 18-11-2012 - 13:27.

[minhdat881439]

Bạn ơi cái $f'(x)$ phân thức bên trái chưa chắc đã lớn hơn 0 bạn nhé.

Chắc chắn phải lớn hơn 0 rồi bạn ạ
$\frac{1-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{2\sqrt{x-\sqrt{x-1}}} \geq 0 \forall x\geq 1$
( vì $\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\leq 1 ;\forall x\geq 1$)
$\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}}> 0 \forall x\geq 1$
nên $\Rightarrow f'(x)=\frac{1-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{2\sqrt{x-\sqrt{x-1}}}+\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}}> 0 \forall x\geq 1$

Edited by minhdat881439, 18-11-2012 - 15:35.

[thanhson95]

Chắc chắn phải lớn hơn 0 rồi bạn ạ
$\frac{1-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{2\sqrt{x-\sqrt{x-1}}} \geq 0 \forall x\geq 1$
( vì $\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\leq 1 ;\forall x\geq 1$)
$\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}}> 0 \forall x\geq 1$
nên $\Rightarrow f'(x)=\frac{1-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{2\sqrt{x-\sqrt{x-1}}}+\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}}> 0 \forall x\geq 1$

Bạn chỉ cần cho $x=1.249$ là nhỏ hơn 0 ngay lập tức! Vì điều kiện để phân thức ấy lớn hơn 0 là $x\geq \frac{5}{4}$
Mình cũng phân tích đến bước này rồi thì vấp mà!