Chủ đề này có 3 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Tính toán 2 tổng sau:

• $S_1=\sum_{k=1}^n k^n{n\choose k}$
• $S_2=\sum_{k=1}^n k^k{n\choose k}$

Ký hiệu ${n\choose k}=\complement_n^k$ là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử

[PSW]

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng     cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng     sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 12/11 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng     sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

[cesc1996]

Bài toán: Tính toán 2 tổng sau:

• $S_1=\sum_{k=1}^n k^n{n\choose k}$
• $S_2=\sum_{k=1}^n k^k{n\choose k}$

Ký hiệu ${n\choose k}=\complement_n^k$ là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử

1,2 .Nhận xét 

2/ $(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.a^{n-k}.b^{k}$

chọn $\left\{\begin{matrix} a=1 & \\ b=k & \end{matrix}\right.$

ta có

$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.k^{k}=(k+1)^{k}$

$\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{k}=(k+1)^{k}-1$

 

1/ ta có $\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{n}=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{k}.k^{n-k}$

 Mà theo câu 2 $\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{k}=(k+1)^{k}-1$

$\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{n}=((k+1)^{k}-1).k^{n-k}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cesc1996: 10-11-2013 - 15:38

[bachhammer]

1,2 .Nhận xét 

2/ $(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.a^{n-k}.b^{k}$

chọn $\left\{\begin{matrix} a=1 & \\ b=k & \end{matrix}\right.$

ta có

$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.k^{k}=(k+1)^{k}$

$\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{k}=(k+1)^{k}-1$

 

1/ ta có $\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{n}=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{k}.k^{n-k}$

 Mà theo câu 2 $\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{k}=(k+1)^{k}-1$

$\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{n}=((k+1)^{k}-1).k^{n-k}$

Vì k thay đổi nên cách này ko phù hợp...Yêu cầu bạn xem lại nhá!!!