Chủ đề này có 9 trả lời

[hbt]

Cho M là một module trên vành Nơte R. Cho I là một ideal của R. Ta định nghĩa module xoắn của I là
T(I,M)={a in M| tồn tại n nào đó mà (I^n)a=0}.
Ta kí hiệu rad(I) là radical của I, rad(I)={r in R| tồn tại n nào đó mà r^n in I}.

Mình có một bài toán chưa nghĩ ra như sau, các bạn giúp hộ nhé:

Bài toán: Giả sử rằng I và J là 2 ideal của R thỏa mãn rad(I)=rad(J). Hãy chứng minh rằng T(I,M)=T(J,M).

[canh_dieu]

Khi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R là vành Noether thì http://dientuvietnam...metex.cgi?rad(I)=rad(J) tương đương với tồn tại các số nguyên dương sao cho và . Từ đó dễ dàng suy ra sự bằng nhau của các module xoắn.

[hbt]

Cám ơn anh, đúng là dùng tính chất trên thì suy ra được.

[hbt]

Bài tập này hơi lạ lạ, mình nghĩ mãi mà chẳng cảm giác được nó, các bạn giúp hộ với.

Bài toán: Cho M là một module Nơte trên vành giao hoán R. Đặt I=Ann(M)={r in R| rm=0 với mọi m in M}. Hãy chứng minh rằng R/Ann(M) là một vành Nơte.

[canh_dieu]

Với http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?M. Khi đó http://dientuvietnam...tex.cgi?R/Ann(M) vào http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?M. Tích trực tiếp của hữu hạn các module Noether và module con của một module Noether cũng là Noether, do vậy http://dientuvietnam...tex.cgi?R/Ann(M) là Noether.

[hbt]

Chà, không phức tạp lắm nhưng mà thật là ... tuyệt!
Cám ơn anh nhiều lắm!

[hbt]

Anh Canhdieu ơi, anh xem hộ hbt câu (b) của bài toán sau với:

Cho (R,M) là một vành địa phương. CMR:

a) Nếu có một ideal nguyên tố I khác với M thì M^(n+1) là con thực sự của M^n với mọi n.
b) Nếu tồn tại một ideal I có radical rad(I) khác M thì I+M^(n+1) là con thực sự của I+M^n với mọi n.

hbt đang bí câu (b). Em nghĩ là câu (a) là để gợi ý cho câu (b) nhưng nghĩ chưa ra.

(Có nhận xét là câu (a) có thể làm chặt hơn thay vì I là ideal nguyên tố khác M thì chỉ cần giả sử rằng tồn tại một ideal I có radical rad(I) khác với M là đủ).

[canh_dieu]

Áp dụng (a) cho vành thương http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\bar{R}=R/I và sử dụng tính chất rằng http://dientuvietnam...metex.cgi?Rad(I) bằng giao của tất cả các ideal nguyên tố chứa http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?I.

[hbt]

Anh Cánh diều ơi, bài này anh có cách giải nào không?

Xét ideal I=(ab-cd) trong vành đa thức K[a,b,c,d] với K là một trường. Hãy chứng minh rằng I là một ideal nguyên tố.

PS: Ah, hình như anh đang ở USA làm PH.D và tên anh là T. hả? hbt khâm phục anh thật.

[canh_dieu]

Có thể dùng phản chứng để chứng minh http://dientuvietnam...metex.cgi?ab-cd là bất khả quy trên http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?K.