Đến nội dung

Hình ảnh

Một thắc mắc về tư tưởng của Galois


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
Thiên Hạ Độc Minh

Thiên Hạ Độc Minh

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
Các bác ơi cho em hỏi cái này chút xíu.
Bữa trước sensei của em có nói với em về ý tưởng xây dựng Z từ N và Q từ Z. Đúng là học lên 1 chút em thấy cái nền tảng toán học nó hơi bị lung lay.
Đại để cái ý tưởng ấy như sau (thầy bảo ý tưởng này là của Galois đi mở rộng mấy cái trường số)
bây giờ N không định nghĩa được phép trừ chứ gì được rồi ta xây dựng cái tập bự hơn để cho nó định nghĩa được.
bây giờ ta xét tập W ha là tập gồm các bộ (a,b) (a,b thuộc N) mà trên nó định nghĩa quan hệ tương đương như sau (a,b) :fight (c,d) khi a+c=b+d. Đặt Z là tập các lớp tương đương. khi đó N là con Z. (ta đồng nhất a với cái lớp (a+x,x) và trên Z ta dinh nghĩa phần tử đối của (a+x,b+x) là (b+x,a+x) và cái phép cộng như sau
(a+x,b+x)+(c+x,d+x)=(a+c+x, b+d+x) phép trừ thì địng nghĩa là phép công cho số đối.
Xây dựng Q cũng đại để như thế

Học thì thấy hay thiệt nhưng mình vẫn có môt vài nghi vấn về cái phương pháp này.
1)Cái tư tương thật là tuyệt vời, ở đâu chưa có những con đường ta sẽ mở ra những con đường mới, nhưng cụ thể tư tưởng này có thể áp dụng được ở những chổ nào.
2) làm sao biết khi ta xây dựng môt cặp (a,b) như vậy và lấy mấy cái lớp tương đương thì phép trừ sẽ địng nghĩa được hay là biết trước có cái tập Z rồi nên mới ngồi vẽ vời tưởng tượng ra cái cách đó
3) Mấy câu hỏi trên hơi bị trừu tượng em xin đưa ra 1 câu hỏi cụ thể hơn. Bây giờ giả sử các bác chưa biết gì về cái tập C nha. Em thấy có mấy cái đa thức trong R[x]hổng có nghiệm, bây giờ bảo mấy bác thử đi tìm cho em cái tập W nào nó chứa R mà trong đó mọi đa thức đều có nghiệm. Tìm thế nào?
Huynh nào chỉ giúp đệ với.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thiên Hạ Độc Minh: 23-11-2005 - 19:32


#2
vietbac

vietbac

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết
Có le là em chưa học hết thôi.
Trường mà mọi đa thức trên nó đều có nghiệm được gọi là trường đóng đại số. C la một trường như vậy.

#3
Kakalotta

Kakalotta

    Thèm lấy vợ

  • Thành viên
  • 805 Bài viết
Cái tư tưởng này gọi là Grothendick hóa, được dùng rất nhiều. Ví dụ như trong K lý thuyết, Trong vành biểu diễn của lý thuyết biểu diễn, .... Nói chung là nổi tiếng rồi.
PhDvn.org

#4
binladen

binladen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết

Cái tư tưởng này gọi là Grothendick hóa, được dùng rất nhiều. Ví dụ như trong K lý thuyết, Trong vành biểu diễn của lý thuyết biểu diễn, .... Nói chung là nổi tiếng rồi.

bác KK có thể nói cho em biết thêm một chút về tư tưởng Grothendick hóa được không


To Thiên Hạ Độc Minh: đúng như bạn nói tôi cũng không hiểu tại sao người đầu tiên xây dựng trường C thì người ta xây dựng như thế nào chứ bây giờ đọc sách có rất nhiều kiểu

#5
mathsbeginner

mathsbeginner

    Trung sĩ

  • Founder
  • 120 Bài viết

2) làm sao biết khi ta xây dựng môt cặp (a,b) như vậy và lấy mấy cái lớp tương đương thì phép trừ sẽ địng nghĩa được hay là biết trước có cái tập Z rồi nên mới ngồi vẽ vời tưởng tượng ra cái cách đó

1)Cái tư tương thật là tuyệt vời, ở đâu chưa có những con đường ta sẽ mở ra những con đường mới, nhưng cụ thể tư tưởng này có thể áp dụng được ở những chổ nào.

Nếu xét theo lịch sử thì phép trừ xuất hiện trước, nhưng ban đầu chỉ được định nghĩa a-b cho trường hợp a>b, trong phạm vi tập số tự nhiên. Sau đó vì cần phải làm sao thể hiện được đâu là khoản nợ, đâu là khoản có mà người ta phải dùng đến khái niệm số âm. Về sau, để tạo sự chặt chẽ thống nhất cho toán học người ta mới tìm cách xây dựng lại khái niệm các tập số này, tất nhiên là phải cố gắng phản ánh đầy đủ các tính chất vốn có của nó. Ngay đến khái niệm tập số tự nhiên cũng được xây dựng lại bằng phương pháp quy nạp (phương pháp này hay dùng trong toán học cho máy tính)



3) Mấy câu hỏi trên hơi bị trừu tượng em xin đưa ra 1 câu hỏi cụ thể hơn. Bây giờ giả sử các bác chưa biết gì về cái tập C nha. Em thấy có mấy cái đa thức trong R[x]hổng có nghiệm, bây giờ bảo mấy bác thử đi tìm cho em cái tập W nào nó chứa R mà trong đó mọi đa thức đều có nghiệm. Tìm thế nào?

Xét bài toán tìm trường mở rộng L của trường K sao cho một đa thức f tối giản trên K nào đó có nghiệm trong L. K[X]/f(X)K[X] là trường, K được nhúng vào trong trường này bởi phép nhúng :D : x --> x mod f(X), và lớp đồng dư X mod f(X) chính là nghiệm của :D f . Sau đó dùng một chút kiến thức tập hợp để xây dựng trường L chứa K có lực lượng tương đương với K[X}/f(X)K[X] (thực ra làm điều này để đảm bảo sự chặt chẽ, chứ hoàn toàn có thể xem K như trường con của K[X}/f(X)K[X]), và f có nghiệm trong L.

Trong trường hợp mọi đa thức trên K đều có nghiệm trong L được xây dựng dựa theo trường hợp đơn giản ở trên, nhưng nói chung là không thể mô tả "rõ ràng" trường L.

Còn trường hợp R và C thì khá đơn giản. Chẳng hạn bạn chỉ cần xét phương trình http://dientuvietnam...ex.cgi?x^2 1=0. Đặt một nghiệm của nó là i, sau đó thì chứng minh mọi đa thức trong R đều có nghiệp trên R[i]. Điều này không cần đến kiến thức cao cấp.

#6
thuantd

thuantd

    Chấm dứt 5 năm (2003 - 2008) gắn bó...

  • Hiệp sỹ
  • 1251 Bài viết

Các bác ơi cho em hỏi cái này chút xíu.
Bữa trước sensei của em có nói với em về ý tưởng xây dựng Z từ N và Q từ Z. Đúng là học lên 1 chút em thấy cái nền tảng toán học nó hơi bị lung lay.
Đại để cái ý tưởng ấy như sau (thầy bảo ý tưởng này là của Galois đi mở rộng mấy cái trường số)
bây giờ N không định nghĩa được phép trừ chứ gì được rồi ta xây dựng cái tập bự hơn để cho nó định nghĩa được.
bây giờ ta xét tập W ha là tập gồm các bộ (a,b) (a,b thuộc N) mà trên nó định nghĩa quan hệ tương đương như sau (a,b) :D (c,d) khi a+c=b+d. Đặt Z là tập các lớp tương đương. khi đó N là con Z. (ta đồng nhất a với cái lớp (a+x,x) và trên Z ta dinh nghĩa phần tử đối của (a+x,b+x) là (b+x,a+x) và cái phép cộng như sau
(a+x,b+x)+(c+x,d+x)=(a+c+x, b+d+x) phép trừ thì địng nghĩa là phép công cho số đối.
Xây dựng Q cũng đại để như thế

Học thì thấy hay thiệt nhưng mình vẫn có môt vài nghi vấn về cái phương pháp này.
1)Cái tư tương thật là tuyệt vời, ở đâu chưa có những con đường ta sẽ mở ra những con đường mới, nhưng cụ thể tư tưởng này có thể áp dụng được ở những chổ nào.
2) làm sao biết khi ta xây dựng môt cặp (a,b) như vậy và lấy mấy cái lớp tương đương thì phép trừ sẽ địng nghĩa được hay là biết trước có cái tập Z rồi nên mới ngồi vẽ vời tưởng tượng ra cái cách đó
3) Mấy câu hỏi trên hơi bị trừu tượng em xin đưa ra 1 câu hỏi cụ thể hơn. Bây giờ giả sử các bác chưa biết gì về cái tập C nha. Em thấy có mấy cái đa thức trong R[x]hổng có nghiệm, bây giờ bảo mấy bác thử đi tìm cho em cái tập W nào nó chứa R mà trong đó mọi đa thức đều có nghiệm. Tìm thế nào?
Huynh nào chỉ giúp đệ với.

Vì không sống vào thời ấy nên chẳng hiểu rõ lúc ấy mấy ông đã nghĩ thế nào để cho ra đời cách xây dựng như vậy. Giờ đây ngồi suy diễn lại thế này:
Việc mở rộng từ tập N vào Z là do phép toán trừ không phải lúc nào cũng thực hiện được. Nếu như a >= b thì phép toán a-b thực hiện được và cho một giá trị cụ thể. Tuy nhiên, khi a-b thì ta không thực hiện được phép trừ, hơn nữa, giả sử nếu thực hiện được thì nó sẽ có cùng giá trị với (a+x)-(b+x) mà ta ký hiệu là c-d. Như vậy, thay vì viết a-b thì người ta viết một bộ hai số có thứ tự (a,b). Bộ số (a,b) này được xem là tương đương (cùng giá trị) với bộ số (c,d) nếu như:
a-b = c-d (giá trị ảo trên tập N)
hay: a+d=c+b (luôn thực hiện được)
Mỗi số nguyên được xem như một lớp tương đương trong NxN.

@Hình như cậu đã gõ nhầm điều kiện để hai bộ số cùng thuộc một lớp tương đương thì phải?
Có những lần say rượu ngã bờ ao
Vợ bắt gặp, chưa mắng một lời, đã chối
Cô gái nhà bên nhìn tôi cười bối rối
Vợ giận anh rồi, tối qua ngủ với em...

#7
tnk

tnk

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 214 Bài viết

3) Mấy câu hỏi trên hơi bị trừu tượng em xin đưa ra 1 câu hỏi cụ thể hơn. Bây giờ giả sử các bác chưa biết gì về cái tập C nha. Em thấy có mấy cái đa thức trong R[x]hổng có nghiệm, bây giờ bảo mấy bác thử đi tìm cho em cái tập W nào nó chứa R mà trong đó mọi đa thức đều có nghiệm. Tìm  thế nào?
Huynh nào chỉ giúp đệ với.


Bạn muốn nói đến định lý Kronecker??

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tnk: 09-12-2005 - 18:26

Em là bông hoa kì diệu
Anh là hòn ngọc sáng trong...

#8
quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Cái tư tưởng này gọi là Grothendick hóa, được dùng rất nhiều. Ví dụ như trong K lý thuyết, Trong  vành biểu diễn của lý thuyết biểu diễn, .... Nói chung là nổi tiếng rồi.

bác KK có thể nói cho em biết thêm một chút về tư tưởng Grothendick hóa được không


To Thiên Hạ Độc Minh: đúng như bạn nói tôi cũng không hiểu tại sao người đầu tiên xây dựng trường C thì người ta xây dựng như thế nào chứ bây giờ đọc sách có rất nhiều kiểu

Grothendieck hóa, có nghĩa là cho trước 1 đối tượng toán học ví dụ như nửa nhóm, hãy xây dựng 1 nhóm từ đối tượng đó. Đối với số tự nhiên chẳng hạn, cùng với phép toán cộng làm thành 1 nửa nhóm. Bây giờ ta trang bị cho nó 1 Equivalenc relation đó là m~n nếu tồn tại n' và m' sao cho m+n' = n+m'. Gọi K(N) là tập hợp các equivalenc class và được gọi là nhóm K của số tự nhiên, cái này gọi là nhóm Grothendieck, dễ thấy K(N) = Z. Tương tự người ta mở rộng cho nhóm, nhóm Z chẳng hạn, vậy thì K(Z) = Q là 1 vành. ... Sau đó dùng tư tưởng này người ta áp dụng vào vector bundle, vì người ta chỉ có phép cộng tổng trực tiếp các vector bundle mà không có phép trừ, vậy nên định nghĩa equivalenc relation như trên ta thu được K nhóm vector bundle. Nó có đầy đủ tính chất của 1 generalized cohomology. Ngoài ra cùng với tensor bundle, người ta có thể làm nó trở thành K-vành.

#9
Thiên Hạ Độc Minh

Thiên Hạ Độc Minh

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
Phù đăng nhập mệt bở hơi tai, chỉ vì quên mất cái mật khẩu.
Xin chào bác mathsbeginner rất cảm ơn bác đã viết bài trả lời rất tận tình, tiếc rằng em tu vi nông cạn nên không thể hiểu những gì bác nói. Em thấy nhập nhằng nhất là cái chỗ x và X, bác kí hiệu rõ hơn 1 chút được không. Nếu được bác chỉ giùm em cách xây dựng đối với tập C nhé. Em ko có link tụi nó lại với nhau được.
Cảm ơn bác.
À còn cho em hỏi Catonion là cái gì được ko.

#10
TieuSonTrangSi

TieuSonTrangSi

    Thiếu úy

  • Founder
  • 526 Bài viết

À còn cho em hỏi Catonion là cái gì được ko.

Chắc là bạn Thiên Hạ Độc Minh muốn hỏi về quaternion ? Đó là một loại số phức, nhưng thay vì gồm 2 số thực như số phức thường, nó chứa tới 4 số thực :

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?q=a+ib+jc+kd,

với http://dientuvietnam...=j^2=k^2=ijk=-1, và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c,d\in\mathbb{R}.

Khác với phép nhân của số phức thường, phép nhân giữa quaternions không giao hoán.

Bạn thử tìm trên mạng, có rất nhiều tài liệu về quaternion.
Chí lớn trong thiên hạ không đựng đầy đôi mắt của giai nhân

#11
binladen

binladen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết


. Bây giờ ta trang bị cho nó 1 Equivalenc relation đó là m~n nếu tồn tại n' và m' sao cho m+n' = n+m'. Gọi K(N) là tập hợp các equivalenc class và được gọi là nhóm K của số tự nhiên, cái này gọi là nhóm Grothendieck, dễ thấy K(N) = Z. .

nếu như xây dựng 1 quan hệ tương đương m~n nếu :D m';n' sao cho m+n'=n+m' thì làm sao k(N)=Z được?? vì khi đó các phàn tử của N đều tương với nhau??

#12
quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết
Xin lỗi đính chính lại, mình viết nhầm: xây dựng trên NxN và (m,n) ~ (m',n') nếu và chỉ nếu tồn tại p sao cho m + n' + p = n + m' +p.
1 cách tương đương, (m,n) ~ (m',n') nếu và chỉ nếu tồn tại p,q sao cho (m,n) + (p,p) = (m',n') + (q,q). Kiểm tra lại nó chính là Z.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh