Chủ đề này có 2 trả lời

[faraanh]

cho cấp số nhân :
$(u_{n}): \left\{\begin{matrix}\sum_{i=1}^{5}u_{i}=49(\sum_{i=1}^{5}\frac{1}{u_{i}})\\ u_{1}+u_{3}=35\end{matrix}\right.$
tìm $u_{1}$

[dark templar]

cho cấp số nhân :
$(u_{n}): \left\{\begin{matrix}\sum_{i=1}^{5}u_{i}=49(\sum_{i=1}^{5}\frac{1}{u_{i}})\\ u_{1}+u_{3}=35\end{matrix}\right.$
tìm $u_{1}$

Gọi $q$ là công bội của CSN.
Có $u_1+u_3=35 \iff u_1(1+q^2)=35 \iff u_1=\frac{35}{1+q^2}>0$.
Xét tổng:
$$S_1=\sum_{i=1}^{5}u_{i}=u_1(1+q+q^2+q^3+q^4)$$
$$S_2=\sum_{i=1}^{5}\frac{1}{u_1}=\frac{1}{u_1}\left(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+...+\frac{1}{q^4} \right)=\frac{1+q+q^2+q^3+q^4}{u_1q^4}$$
Do $1+q+q^2+q^3+q^4>0;\forall q \in \mathbb{R}$ nên giả thuyết:
$$S_1=49S_2 \iff u_1^2.q^4=49 \iff \frac{35q^2}{1+q^2}=7 \iff q=\pm \frac{1}{2} \implies u_1=28$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 23-11-2012 - 11:29

[faraanh]

Gọi $q$ là công bội của CSN.
Có $u_1+u_3=35 \iff u_1(1+q^2)=35 \iff u_1=\frac{35}{1+q^2}>0$.
Xét tổng:
$$S_1=\sum_{i=1}^{5}u_{i}=u_1(1+q+q^2+q^3+q^4)$$
$$S_2=\sum_{i=1}^{5}\frac{1}{u_1}=\frac{1}{u_1}\left(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+...+\frac{1}{q^4} \right)=\frac{1+q+q^2+q^3+q^4}{u_1q^4}$$
Do $1+q+q^2+q^3+q^4>0;\forall q \in \mathbb{R}$ nên giả thuyết:
$$S_1=49S_2 \iff u_1^2.q^4=49 \iff \frac{35q^2}{1+q^2}=7 \iff q=\pm \frac{1}{2} \implies u_1=28$$

em còn một cách khác như sau:
dễ dàng chứng minh được kết quả sau: $S_n=u_1u_n(\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+...+\frac{1}{u_n})$
áp dụng kết quả đó vào bài này, ta được hệ:
$\left\{\begin{matrix}S_1=49\frac{S_1}{u_1u_5}\\ u_1+u_3=35\end{matrix}\right. \iff \left\{\begin{matrix} u_1u_5=49 & \\ u_1+u_3=35 & \end{matrix}\right.\iff \left\{\begin{matrix} u_1^2q^4=49 & \\ u_1(q^2+1)=35 & \end{matrix}\right.\iff \frac{35}{q^2+1}=\frac{7}{q^2}$ cũng giống như anh dark templar đã làm
qua bài toán này ta rút ra được một công thức hữu dụng như đã đưa ở đầu bài