3 replies to this topic

[VNSTaipro]

Khai triển S(x)=$(1+x+x^{2}+x^{3})^{670}$ thành đa thức ta được
S(x)=$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{2010}x^{2010}$
a) Tính tổng các hệ số S=$a_{0}+a_{1}+a_{2}+...+a_{2010}$
b) Tìm hệ số $a_{6}$

Edited by Mai Duc Khai, 23-11-2012 - 20:26.

[minhtuyb]

Khai trien S(x)=$(1+x+x^{2}+x^{3})^{670}$ thành đa thức ta được
S(x)=$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{2010}x^{2010}$
a) Tính tổng các hệ số S=$a_{0}+a_{1}+a_{2}+...+a_{2010}$
b) Tìm hệ số $a_{6}$

a) $S=S(1)=4^{670}$
b) $$S(x)=(1+x)^{670}(1+x^2)^{670}=\left(\sum\limits_{k=0}^{670} C^k_{670}.x^k\right)\left(\sum\limits_{m=0}^{670} C^m_n.x^{2m}\right)=\sum\limits_{0\le k,m\le 670} C^{k}_{670}.C^{m}_{670}.x^{k+2m}$$
Giải pt nghiệm nguyên không âm $k+2m=6\Rightarrow (k,m)=(6;0);(4;1);(2;2);(3;0)$
$\Rightarrow a_6=C^{6}_{670}.C^{0}_{670}+C^{4}_{670}.C^{1}_{670}+C^{2}_{670}.C^{2}_{670}+C^{3}_{670}.C^{0}_{670}$

[Gioi han]

Khai triển S(x)=$(1+x+x^{2}+x^{3})^{670}$ thành đa thức ta được
S(x)=$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{2010}x^{2010}$

b) Tìm hệ số $a_{6}$

Cách khác
$(1+x+x^2+x^3)^{670}=(\frac{1-x^4}{1-x})^{670}= \sum^{670}_{k=0} C^{k}_{670} x^{4k}(-1)^{670-4k}.(\frac{1}{1-x})^{670}$
Hệ số $x^6 \Rightarrow 4k \leq 6 \Rightarrow k=1$
$\Rightarrow $ hệ số của $x^6$ trong khai triển là :
$C^{1}_{670}.C^{6-4}_{670+6-4-1}=670.C^{2}_{671}$

[dark templar]

Khai triển S(x)=$(1+x+x^{2}+x^{3})^{670}$ thành đa thức ta được
S(x)=$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{2010}x^{2010}$
a) Tính tổng các hệ số S=$a_{0}+a_{1}+a_{2}+...+a_{2010}$
b) Tìm hệ số $a_{6}$

Bạn có thể xem công thức tổng quát trong topic này