Chủ đề này có 4 trả lời

[beontop97]

1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh :
$\frac{a^{4}}{1+a^{2}b}+\frac{b^{4}}{1+b^{2}c}+\frac{c^{4}}{1+c^{2}a}\geq \frac{abc\left ( a+b+c \right )}{1+abc}$
2. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Chứng minh :
$\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}} \leq \sqrt{3}$
3. Cho a,b,c >0 và a+b+c=3. Chứng minh :
$\sum \frac{a^{2}}{a+2b^{2}} \geq 1$
4. Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
Chứng minh :
$\sum \frac{1}{1-a^{2}}+\sum \frac{1}{1-ab}\geq 9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi beontop97: 23-11-2012 - 16:48

[tran thanh binh dv class]

3. Cho a,b,c >0 và a+b+c=3. Chứng minh :
$\sum \frac{a^{2}}{a+2b^{2}} \geq 1$

Ta thấy $\sum \frac{a^{2}}{a+2b^{2}}=\sum( a-\frac{2ab^2}{a+2b^2})=3-\sum \frac{2ab^2}{a+2b^2}\geq 3-\sum \frac{2ab}{3\sqrt[3]{ab}}=3-\sum \frac{2}{3}\sqrt[3]{(ab)^2}$
Nên ta cần chưng minh
$\sum \frac{2}{3}\sqrt[3]{(ab)^2}\leq 2\Leftrightarrow \sum \sqrt[3]{a^2b^2}\leq 3$
Sử dụng AM-GM ta có ngay
$a+ab+b\geq 3\sqrt[3]{(ab)^2}$ và $ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$
Cộng vế theo vế có DPCM
Dấu = khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tran thanh binh dv class: 23-11-2012 - 18:12

[Joker9999]

1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh :
$\frac{a^{4}}{1+a^{2}b}+\frac{b^{4}}{1+b^{2}c}+\frac{c^{4}}{1+c^{2}a}\geq \frac{abc\left ( a+b+c \right )}{1+abc}$

Để từ từ mình giải cho
Giải như sau:
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta có:$\sum \frac{a^4}{1+a^2b}\geq \sum \frac{(a^2\sqrt{c})^2}{\sum c(1+a^2b)}=\frac{ \sum (a^2\sqrt{c})^2}{(1+abc)(a+b+c)}$
Do đó ta cần phải chứng minh:
$\sum a^2\sqrt{c}\geq \sqrt{abc}(a+b+c)\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{\sqrt{ab}}\geq a+b+c$
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có:
$\sum \frac{a^2}{\frac{a+b}{2}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
Chứng minh hoàn tất.

[Waiting for you]

2. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Chứng minh :
$\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}} \leq \sqrt{3}$

Ukraine 2008
Giải:Áp dụng C-S cho mẫu $(a^2+b+c)(1+b+c)\geq (a+b+c)^2$
Suy ra $\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}\leq \frac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}$
Xây dsựng các BĐT tương tự,ta có
VT$\leq \frac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}$
Áp dụng C-S lần nữa $\frac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}\leq$
$\frac{\sqrt{(a+b+c)\left [ a(1+b+c)+b(1+c+a)+c(1+a+b) \right ]}}{a+b+c}$
=$\frac{\sqrt{(a+b+c)^2+(a+b+c)2(ab+bc+ca)}}{a+b+c}$
=$\sqrt{1+\frac{2(ab+bc+ca)}{a+b+c}}\leq \sqrt{1+\frac{2(a+b+c)}{3}}\leq \sqrt{1+\frac{2\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{3}}= \sqrt{3}$

[Joker9999]

4. Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
Chứng minh :
$\sum \frac{1}{1-a^{2}}+\sum \frac{1}{1-ab}\geq 9$

Tiêu diệt nốt
Giải như sau:
Do $\frac{1}{1-a^2}=1+\frac{a^2}{1-a^2};\frac{1}{1-bc}=1+\frac{bc}{1-bc}$ nên BDT đã cho viết lại thành:
$\sum \frac{a^2}{1-a^2}+\sum \frac{ab}{1-ab}\geq 3$
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta có:
$\sum \frac{a^2}{1-a^2}+\sum \frac{ab}{1-ab}\geq \frac{(\sum a^2+\sum bc)}{\sum a^2(1-a^2)+\sum bc(1-bc)}$
Ta cần chứng minh:
$(\sum a^2+\sum bc)^2\geq 3(\sum a^2+\sum bc)(\sum a^2)-3\sum a^4-3\sum b^2c^2\Leftrightarrow \sum a^4+abc\sum a\geq \sum ab(a^2+b^2)$
Hiển nhiên do đây là BDT Schur bậc 4
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi$a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$ hoặc $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}};c=0$ và các hoán vị
Chứng minh hoàn tất.