Chủ đề này có 2 trả lời

[no matter what]

Giải phương trình:$(x+5)\sqrt{x+1}+1=\sqrt[3]{3x+4}$

[tramyvodoi]

Điều kiện $x\geq -1$
Sữ dụng bất đẳng thức AMGM như sau:
$\sqrt[3]{3x+4}=1.1.\sqrt[3]{3x+4}\leq \frac{1+1+3x+4}{3}\leq x+2$
=>$(x+5)\sqrt{x+1}+1\leq x+2$
=>$(x+5)\sqrt{x+1}\leq x+1$
=>$\sqrt{x+1}(x+5-\sqrt{x+1})\leq 0$
=>$\sqrt{x+1}\frac{(x+5)^{2}-(x+1)}{x+5+\sqrt{x+1}}\leq 0$
=>$\sqrt{x+1}\frac{(x^{2}+9x+24)}{x+5+\sqrt{x+1}}\leq 0$
mà $\sqrt{x+1}\frac{(x^{2}+9x+24)}{x+5+\sqrt{x+1}}\geq 0$ với $x\geq -1$
=>x=-1 (do x²+9x+24>0)
thử lại thấy x=-1 thỏa. Kết luận Phương trình có nghiệm duy nhất x=-1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 24-11-2012 - 12:58

[HuyenBi]

dkxd x>=-1
đặt $\sqrt{x+1}=a; \sqrt[3]{3x+4}=b$ ta có
$\left\{\begin{matrix} \left ( a^{2}+4 \right )a+1=b & \\ b^{3}-3a^{2}=1 & \end{matrix}\right.$
cộng vế với vế ta có
$a^{3}+4a+3a^{2}+2=b^{3}+b$
<=> $\left ( a+1 \right )^{3}+\left ( a+1 \right )=b^{3}+b$
<=>$\left ( a+1-b \right )\left [ \left ( a+1 \right ) ^{2}+\left ( a+1 \right )b+b^{2}+1\right ]=0$
<=> a+1=b
mà $b^{3}-3a^{2}=1$
nên thay a=b-1 ta có
$b^{3}-3a^{2}+6b-4=0$
<=> $\left ( b-1 \right )\left ( b^{2}-2b+4 \right )=0$
<=> b=1 nên x=-1