Chủ đề này có 8 trả lời

[huou202]

Tính tổng
Câu 1 $(C_{2011}^{0})^2-(C_{2011}^{1})^2+(C_{2011}^{2})^2-...-(C_{2011}^{2011})^2$.
Câu 2 $C_{n}^{0}+\frac{2}{2}C_{n}^{1}+\frac{2^2}{3}C_{n}^{2}+...+\frac{2^n}{n+1}C_{n}^{n}$.

[minhtuyb]

Tính tổng
Câu 1 $(C_{2011}^{0})^2-(C_{2011}^{1})^2+(C_{2011}^{2})^2-...-(C_{2011}^{2011})^2$.

Câu này mang t/c lừa tình
---
Áp dụng công thức đối xứng:
$$(C_{2011}^{0})^2=(C_{2011}^{2011})^2\\ (C_{2011}^{1})^2=(C_{2011}^{2010})^2\\...\\ (C_{2011}^{1005})^2=(C_{2011}^{1006})^2$$
Vậy tổng trên bằng $0\ \square$

[dark templar]

Tính tổng
Câu 1 $(C_{2011}^{0})^2-(C_{2011}^{1})^2+(C_{2011}^{2})^2-...-(C_{2011}^{2011})^2$.
Câu 2 $C_{n}^{0}+\frac{2}{2}C_{n}^{1}+\frac{2^2}{3}C_{n}^{2}+...+\frac{2^n}{n+1}C_{n}^{n}$.

Câu 1:bằng quy tắc đối xứng $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ sẽ thấy tổng này bằng 0.
Câu 2:Áp dụng quy tắc:$\binom{n+1}{k+1}=\frac{n+1}{k+1}\binom{n}{k}$,ta có:
$$S=\sum_{k=0}^{n}\frac{2^{k}}{k+1}\binom{n}{k}=\frac{1}{2(n+1)}\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k+1}2^{k+1}=\frac{1}{2(n+1)}\sum_{j=1}^{n+1}\binom{n+1}{j}2^{j}=\frac{3^{n+1}-1}{2(n+1)}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 25-11-2012 - 10:47

[Ispectorgadget]

Tính tổng
Câu 2 $C_{n}^{0}+\frac{2}{2}C_{n}^{1}+\frac{2^2}{3}C_{n}^{2}+...+\frac{2^n}{n+1}C_{n}^{n}$.

Xét khai triển $(1+x)^n=C_n^0+xC_n^1+...+C_n^n.x^n$
Lấy tích phân 2 vế cận từ $0$ đến 2 \[\int\limits_0^2 {{{(1 + x)}^n}dx} = \int\limits_0^2 {(C_n^0 + } xC_n^1 + ... + C_n^n{x^n})dx\]
Ta có: \[\int\limits_0^2 {{{(1 + x)}^n}dx} = \frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}\Bigg|_0^2 = \frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}\]
\[\int\limits_0^2 {(C_n^0 + } xC_n^1 + ... + C_n^n{x^n})dx = \left[ {x.C_n^0 + \frac{{{x^2}}}{2}C_n^1 + ... + C_n^n.\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]\Bigg|_0^2 = 2.C_n^0 + 2.C_n^1 + ... + C_n^n.\frac{{{2^{n + 1}}}}{{n + 1}}\]
$$C_{n}^{0}+\frac{2}{2}C_{n}^{1}+\frac{2^2}{3}C_{n}^{2}+...+\frac{2^n}{n+1}C_{n}^{n}=\frac{{{3^{n }} - 1}}{{2(n + 1)}}$$

Tổng quát cho bài 1: $(C_{2n+1}^0)^2-(C_{2n+1}^1)^2+(C_{2n+1}^2)^2-...-(C_{2n+1}^{2n+1})=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-11-2012 - 10:56

[hxthanh]

Câu 1: Đề cho số $2011$ không hay lắm vì dễ dàng nhận ra
$(C_{2011}^0)^2-(C_{2011}^{2011})^2=(C_{2011}^1)^2-(C_{2011}^{2010})^2=...=0$

Nếu $n$ chẵn $n=2m$ ta có bài toán hay hơn sau:

Tính tổng
$S=\sum_{k=0}^{2m} \left[(-1)^k \binom{2m}{k}^2\right]$

[Ispectorgadget]

Tính tổng
$S=\sum_{k=0}^{2m} \left[(-1)^k \binom{2m}{k}^2\right]$

Ta có $(1+x)^{2m}=C_{2m}^0+C_{2m}^1x+...+C_{2m}^{2m} x^{2m}$
$(x-1)^{2m} =C_{2m}^{2m}-C_{2m}^{2m-1}+...+C_{2n}^{2m}x^{2m}$
Hệ số của $x^{2m}$ trong tích của khai triển này là
$(C_{2m}^0)^2-(C_{2m}^1)^2+...+(-1)^m(C_{2m}^m)^2+...+(C_{2m}^{2m})^2$
Mặt khác trong khai triển $(1-x)^{2m}$ hệ số của $x^{2m}$ là $(-1)^m.C_{2m}^m$
Vậy ta có $S=\sum_{k=0}^{2m} \left[(-1)^k \binom{2m}{k}^2\right]=(-1)^mC_{2m}^m$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-11-2012 - 10:58

[tuyettrang0607]

Ta có $(1+x)^{2m}=C_{2m}^0+C_{2m}^1x+...+C_{2m}^{2m} x^{2m}$
$(x-1)^{2m} =C_{2m}^{2m}-C_{2m}^{2m-1}+...+C_{2n}^{2m}x^{2m}$
Hệ số của $x^{2m}$ trong tích của khai triển này là
$(C_{2m}^0)^2-(C_{2m}^1)^2+...+(-1)^m(C_{2m}^m)^2+...+(C_{2m}^{2m})^2$
Mặt khác trong khai triển $(1-x)^{2m}$ hệ số của $x^{2m}$ là $(-1)^m.C_{2m}^m$
Vậy ta có $S=\sum_{k=0}^{2m} \left[(-1)^k \binom{2m}{k}^2\right]=(-1)^mC_{2m}^m$

Bạn ơi làm rõ ràng hơn được không mình không hiểu. có chỗ hình như đánh sai. Mình cám ơn nhiều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuyettrang0607: 29-11-2012 - 14:22

[tuyettrang0607]

Mình đang bí câu đấy các bạn giúp mình với

[dark templar]

Ta có $(1+x)^{2m}=C_{2m}^0+C_{2m}^1x+...+C_{2m}^{2m} x^{2m}$
$(x-1)^{2m} =C_{2m}^{2m}-C_{2m}^{2m-1}+...+C_{2n}^{2m}x^{2m}$
Hệ số của $x^{2m}$ trong tích của khai triển này là
$(C_{2m}^0)^2-(C_{2m}^1)^2+...+(-1)^m(C_{2m}^m)^2+...+(C_{2m}^{2m})^2$
Mặt khác trong khai triển $(1-x)^{2m}$ hệ số của $x^{2m}$ là $(-1)^m.C_{2m}^m$
Vậy ta có $S=\sum_{k=0}^{2m} \left[(-1)^k \binom{2m}{k}^2\right]=(-1)^mC_{2m}^m$

Bạn ơi làm rõ ràng hơn được không mình không hiểu. có chỗ hình như đánh sai. Mình cám ơn nhiều

Thật ra cái chỗ tô đỏ phải là $(x^2-1)^{2m}$
Còn vấn đề bạn hỏi nằm ở chỗ quy tắc nhân đa thức:
Xét khai triển 2 đa thức bậc$m$ là P và bậc $n$ là Q với:
$$P=\sum_{k=0}^{m}a_{k}x^{k};Q=\sum_{j=0}^{n}b_{j}x^{j}$$
Khi đó khai triển tích 2 đa thức trên là $M=P.Q$ có dạng:
$$M=\sum_{r=0}^{m+n}\left(\sum_{i=0}^{r}a_{r}b_{r-i} \right)x^{r}$$