Chủ đề này có 8 trả lời

[huou202]

Tính tổng
Câu 1 :
$\frac{1}{2}C_{n}^{0}-\frac{1}{4}C_{n}^{1}+\frac{1}{6}C_{n}^{2}+...+(-1)^n\frac{1}{2n+2}C_{n}^{n}$.
Câu 2
$C_{n}^{0}+\frac{2}{2}C_{n}^{1}+\frac{2^2}{3}+...+\frac{2^n}{n+1}C_{n}^{n}$.
Câu 3
$1-\frac{1}{3}C_{n}^{1}+\frac{1}{5}C_{n}^{2}-\frac{1}{7}C_{n}^{3}+...+\frac{(-1)^n}{2n+1}C_{n}^{n}$.
___
NLT: Không đặt tiêu đề quá dài !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 26-11-2012 - 15:05

[tienvuviet]

Tính tổng
Câu 1 :
$\frac{1}{2}C_{n}^{0}-\frac{1}{4}C_{n}^{1}+\frac{1}{6}C_{n}^{2}+...+(-1)^n\frac{1}{2n+2}C_{n}^{n}$.

___
NLT: Không đặt tiêu đề quá dài !

Xét khai triển $( x^2 - 1)^n = C_{n}^{0} - x^2 C_{n}^{1} + x^4 C_{n}^{2} +...+(-1)^n x^{2n} C_{n}^{n}$.

Nhân 2 vế với $x$ ta được

$x.( x^2 - 1)^n = xC_{n}^{0} - x^3 C_{n}^{1} + x^5 C_{n}^{2} +...+(-1)^n x^{2n + 1} C_{n}^{n}$.

Lấy tích phân 2 vế ta có

$\displaystyle \int_{0}^{1} x.(x^2 - 1)^n = \displaystyle \int_{0}^{1}[xC_{n}^{0} - x^3 C_{n}^{1} + x^5 C_{n}^{2} +...+(-1)^n x^{2n + 1} C_{n}^{n}]$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \dfrac{(x^2 - 1)^{n+1}}{n+1} \bigg |_{0}^{1} = \bigg [ \dfrac{1}{2}.x^2C_{n}^{0} - \dfrac{1}{4}x^4 C_{n}^{1}+\dfrac{1}{6} x^6 C_{n}^{2}+...+(-1)^n\dfrac{1}{2n+2} x^{2n+2} C_{n}^{n} \bigg ] \bigg |_{0}^{1}$.

[huou202]

Mình chưa học tích phân bạn à.

[meomay999]

bạn chuyên gì thế, học 12 sao lại chưa học tích phân
câu 3 tương tự câu 1, còn câu 2 thì lấy tích phân của (1+x)ⁿ cạn từ 0 đến 2.
Thế bạn đã học chắc là bạn học đạo hàm để khai triền NIWTON rồi chưa!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi meomay999: 26-11-2012 - 17:49

[dark templar]

Mình chưa học tích phân bạn à.

Lời giải thuần Đại số
Bài 1:
$$S_1=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}}{k+1}\binom{n}{k}=\frac{1}{2(n+1)}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n+1}{k+1}=-\frac{1}{2(n+1)}\sum_{j=1}^{n+1}(-1)^{j}\binom{n+1}{j}=\frac{1}{2n+2}$$

Bài 2:
$$S_2=\sum_{k=0}^{n}\frac{2^{k}}{k+1}\binom{n}{k}=\frac{1}{2(n+1)}\sum_{k=0}^{n}2^{k+1}\binom{n+1}{k+1}=\frac{3^{n+1}-1}{2n+2}$$

Câu 3 thì đang suy nghĩ
@meomay999:Câu 3 không thể giải như bạn được đâu.

[hxthanh]

...
Câu 3
$1-\frac{1}{3}C_{n}^{1}+\frac{1}{5}C_{n}^{2}-\frac{1}{7}C_{n}^{3}+...+\frac{(-1)^n}{2n+1}C_{n}^{n}$.

Đây là một bài toán hay và khó! (Mất cả buổi chiều suy nghĩ )

Ta viết lại đề:

$S_n=\sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k C_n^k}{2k+1}$

Ta có:

$S_n=1+\sum_{k=1}^n \dfrac{(-1)^k C_n^k}{2k+1}=1+\sum_{k=1}^n\left[\dfrac{n}{n-k}.\dfrac{(-1)^k C_{n-1}^k}{(2k+1)}\right]$

$S_n=1+\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=1}^n\left[\dfrac{n(2n+1)}{n-k}.\dfrac{(-1)^k C_{n-1}^k}{(2k+1)}\right]$

$S_n=1+\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=1}^n\left[\dfrac{2n^2-2nk+2nk+n}{n-k}.\dfrac{(-1)^k C_{n-1}^k}{(2k+1)}\right]$

$S_n=1+\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=1}^n\left[\dfrac{2n^2-2nk}{n-k}.\dfrac{(-1)^k C_{n-1}^k}{(2k+1)}\right]+\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=1}^n\left[\dfrac{2nk+n}{n-k}.\dfrac{(-1)^k C_{n-1}^k}{(2k+1)}\right]$

$S_n=1+\dfrac{2n}{2n+1}\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{(-1)^k C_{n-1}^k}{(2k+1)}+\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=1}^n \dfrac{n(-1)^k C_{n-1}^k}{n-k}$

$S_n=\dfrac{2n}{2n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(-1)^k C_{n-1}^k}{(2k+1)}+\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=0}^n \left[(-1)^k C_n^k\right]$

$\Rightarrow S_n=\dfrac{2n}{2n+1}S_{n-1}+0$
$\Rightarrow S_{n-1}=\dfrac{2n-2}{2n-1}S_{n-2}$
...
$\Rightarrow S_1=\dfrac{2}{3}S_0$

Dễ thấy $S_0=1$

$\Rightarrow S_n=\dfrac{2n(2n-2)...2}{(2n+1)(2n-1)...3.1}=\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$

(Giai thừa cách đôi! - Đừng nhầm với ! nhé!)

[hxthanh]

Đây là một bài toán hay và khó! (Mất cả buổi chiều suy nghĩ )

Ta viết lại đề:

$S_n=\sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k C_n^k}{2k+1}$

Ta có:

$S_n=1+\sum_{k=1}^n \dfrac{(-1)^k C_n^k}{2k+1}=1+\sum_{k=1}^n\left[\dfrac{n}{n-k}.\dfrac{(-1)^k C_{n-1}^k}{(2k+1)}\right]$

$S_n=1+\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=1}^n\left[\dfrac{n(2n+1)}{n-k}.\dfrac{(-1)^k C_{n-1}^k}{(2k+1)}\right]$

$S_n=1+\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=1}^n\left[\dfrac{2n^2-2nk+2nk+n}{n-k}.\dfrac{(-1)^k C_{n-1}^k}{(2k+1)}\right]$

$S_n=1+\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=1}^n\left[\dfrac{2n^2-2nk}{n-k}.\dfrac{(-1)^k C_{n-1}^k}{(2k+1)}\right]+\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=1}^n\left[\dfrac{2nk+n}{n-k}.\dfrac{(-1)^k C_{n-1}^k}{(2k+1)}\right]$

$S_n=1+\dfrac{2n}{2n+1}\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{(-1)^k C_{n-1}^k}{(2k+1)}+\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=1}^n \dfrac{n(-1)^k C_{n-1}^k}{n-k}$

$S_n=\dfrac{2n}{2n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(-1)^k C_{n-1}^k}{(2k+1)}+\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=0}^n \left[(-1)^k C_n^k\right]$

$\Rightarrow S_n=\dfrac{2n}{2n+1}S_{n-1}+0$
$\Rightarrow S_{n-1}=\dfrac{2n-2}{2n-1}S_{n-2}$
...
$\Rightarrow S_1=\dfrac{2}{3}S_0$

Dễ thấy $S_0=1$

$\Rightarrow S_n=\dfrac{2n(2n-2)...2}{(2n+1)(2n-1)...3.1}=\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$

(Giai thừa cách đôi! - Đừng nhầm với ! nhé!)

Bài này có một chỗ sai hơi bị nghiêm trọng! Ai phát hiện được - được 10 điểm + 10 likes

[minhtuyb]

$S_n=1+\sum_{k=1}^n \dfrac{(-1)^k C_n^k}{2k+1}=1+\sum_{k=1}^n\left[\dfrac{n}{n-k}.\dfrac{(-1)^k C_{n-1}^k}{(2k+1)}\right]$

Vì $k$ chạy từ $1$ đến $n$ nên biểu thức $\dfrac{n}{n-k}$ không có nghĩa khi $n=k$.
Cách khắc phục: Tính riêng tổng khi $k=n$ (giống $k=0$) và chỉ cho $k=\overline{2,k-1}$
---
Em nghĩ thế

[hxthanh]

Đã sai mà không sửa thì ...

$S_n=\sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k C_n^k}{2k+1}$

Ta có:

$S_n=\dfrac{(-1)^n}{2n+1}+\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{(-1)^k C_n^k}{2k+1}=\dfrac{(-1)^n}{2n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}\left[\dfrac{n}{n-k}.\dfrac{(-1)^k C_{n-1}^k}{(2k+1)}\right]$

$S_n=\dfrac{(-1)^n}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\left[\dfrac{n(2n+1)}{n-k}.\dfrac{(-1)^k C_{n-1}^k}{(2k+1)}\right]$

$S_n=\dfrac{(-1)^n}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\left[\dfrac{2n^2-2nk+2nk+n}{n-k}.\dfrac{(-1)^k C_{n-1}^k}{(2k+1)}\right]$

$S_n=\dfrac{(-1)^n}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\left[\dfrac{2n^2-2nk}{n-k}.\dfrac{(-1)^k C_{n-1}^k}{(2k+1)}\right]+\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\left[\dfrac{2nk+n}{n-k}.\dfrac{(-1)^k C_{n-1}^k}{(2k+1)}\right]$

$S_n=\dfrac{2n}{2n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(-1)^k C_{n-1}^k}{(2k+1)}+\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{n(-1)^k C_{n-1}^k}{n-k}+\dfrac{(-1)^n}{2n+1}$

$S_n=\dfrac{2n}{2n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(-1)^k C_{n-1}^k}{(2k+1)}+\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=0}^n \left[(-1)^k C_n^k\right]$

$\begin{eqnarray*}\Rightarrow S_n&=&\dfrac{2n}{2n+1}S_{n-1}+0\\ \Rightarrow S_{n-1}&=&\dfrac{2n-2}{2n-1}S_{n-2}\\ ...&=&...\\ \Rightarrow S_1&=&\dfrac{2}{3}S_0\end{eqnarray*}$

Dễ thấy $S_0=1$

$\Rightarrow S_n=\dfrac{2n(2n-2)...2}{(2n+1)(2n-1)...3.1}=\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$
_________________________
P/s: Tuy rằng kết quả không thay đổi, nhưng lỗi sai đó tuy nhỏ nhưng rất nghiêm trọng!