Chủ đề này có 1 trả lời

[thanhdotk14]

Giải phương trình sau :

$x-1+\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{16}{\sqrt{1+8x}+3}+\frac{8}{(\sqrt{1+\sqrt{1+8x}}+2).(\sqrt{1+8x}+3)}$

Chú ý tiêu đề bạn nhé Tham khảo tại đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 26-11-2012 - 20:46

[khong la gi ca]

Giải phương trình sau :

$x-1+\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{16}{\sqrt{1+8x}+3}+\frac{8}{(\sqrt{1+\sqrt{1+8x}}+2).(\sqrt{1+8x}+3)}$

$x-1 + \frac{1}{\sqrt{x+3}+2} = \frac{16}{\sqrt{1+8x}+3} + \frac{8}{\left ( \sqrt{1+\sqrt{1+8x}} +2 \right ) \left ( \sqrt{1+8x}+3\right )}$ $(1)$
ĐKXĐ $x \geq \frac{-1}{8}$
Ta thay $x = 1$ vào $(1)$ thì ta được $\frac{1}{4} = 3$ (vô lý) nên $x = 1$ không là nghiệm của (1)

Khi $x \neq 1$ ta có
$(1)$ $\Leftrightarrow$ $x-1 + \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} = \frac{8}{\sqrt{1+8x}+3} \left ( 2 + \frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{1+8x}} + 2} \right )$
$\Leftrightarrow$ $x-1 + \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} = \frac{8}{\sqrt{1+8x}+3} \left ( 2 + \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+8x}} - 2}{\sqrt{1+8x} - 3} \right )$

$\Leftrightarrow$ $\frac{\left ( x-1 \right )^{2} + \sqrt{x+3}-2}{x-1} = \frac{8\left [ 2\left ( \sqrt{1+8x} - 3\right ) + \sqrt{1+\sqrt{1+8x}} - 2\right ]}{8x-8}$

$\Leftrightarrow$ $\left ( x-1 \right )^{2} + \sqrt{x+3}-2 = 2\sqrt{1+8x} + \sqrt{1+\sqrt{1+8x}} - 8$
$\Leftrightarrow$ $x^{2} -2x + 7 + \sqrt{x+3} = 2\sqrt{1+8x} + \sqrt{1+\sqrt{1+8x}}$
$\Leftrightarrow$ $x^{2} +6x + 9 + \sqrt{x+3} = 8x + 2 + 2\sqrt{1+8x} + \sqrt{1+\sqrt{1+8x}}$

$\Leftrightarrow$ $\left ( x+3 \right )^{2} + \sqrt{x+3} = 1 + 2\sqrt{1+8x} + 1+8x + \sqrt{1+\sqrt{1+8x}}$
$\Leftrightarrow$ $\left ( x+3 \right )^{2} + \sqrt{x+3} = \left ( 1+\sqrt{1+8x} \right )^{2} + \sqrt{1+\sqrt{1+8x}}$

Đặt $a = \sqrt{x+3}$ và $b = \sqrt{1+\sqrt{1+8x}}$ với $a \geq 0$ và $b \geq 0$ thì
$(1)$ $\Leftrightarrow$ $a^{4} + a = b^{4} + b$
Mà ta có $a^{4}-b^{4}= \left ( a^{2}-b^{2} \right )\left ( a^{2}+b^{2} \right )= \left ( a-b \right ) \left ( a+b \right ) \left [ \left ( a-b \right )^2 +2ab \right ]$

Theo đó
$a^{4} + a = b^{4} + b$
$\Leftrightarrow$ $\left ( a-b \right ) \left ( a+b \right ) \left [ \left ( a-b \right )^2 +2ab \right ] + \left ( a-b \right ) = 0$
$\Leftrightarrow$ $\left ( a-b \right ) \left [ \left ( a+b \right ) \left [ \left ( a-b \right )^2 +2ab \right ] + 1 \right ] = 0$
$\Leftrightarrow$ $a - b = 0$ ( do $\left ( a+b \right ) \left [ \left ( a-b \right )^2 +2ab \right ] + 1 > 0 \forall a,b>0$ )
$\Leftrightarrow$ $a = b$ $\Leftrightarrow$ $\sqrt{x+3} = \sqrt{1+\sqrt{1+8x}}$
$\Leftrightarrow$ $x+3 = 1+\sqrt{1+8x}$
$\Leftrightarrow$ $x + 2 = \sqrt{1+8x}$
$\Leftrightarrow$ $x^{2} + 4x + 4 = 1+8x$ ( do $x + 2 > 0 \forall x \geq \frac{-1}{8}$ )
$\Leftrightarrow$ $x^{2} - 4x + 3 = 0$
$\Leftrightarrow$ $x=1$ (loại) $\vee x=3$ (nhận)

Vậy (1) có nghiệm duy nhất $x = 3$.

P/S: Bài này ko hẳn là khó mà chỉ cần bạn chịu khó nhân lượng liên hợp là đc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khong la gi ca: 28-11-2012 - 00:25