Cho $a, b, c$ là các số thực dương.
Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{a\sqrt{a+b}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$
Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{a\sqrt{a+b}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$
Bắt đầu bởi donghaidhtt, 28-11-2012 - 01:06
toánthpt toán 11 đh hải
#1
Đã gửi 28-11-2012 - 01:06
#2
Đã gửi 28-11-2012 - 08:07
Giải như sau:Cho $a, b, c$ là các số thực dương.
Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{a\sqrt{a+b}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$
Đặt $x=\sqrt{\frac{2bc}{a(a+b)}};y=\sqrt{\frac{2ac}{b(b+c)}};z=\sqrt{\frac{2ab}{c(a+c)}}$ như vậy ta cần CM $x+y+z\geq 3$.
Ta sẽ chứng minh BDT mạnh hơn là:
$xy+xz+yz\geq 3$
THật vậy: Đặt $u=\sqrt{b+c};v=\sqrt{c+a};w=\sqrt{a+b}$ như vậy ta có:
$yz=\frac{w^2+v^2-u^2}{uv};xz=\frac{u^2+w^2-v^2}{vw};xy=\frac{v^2+u^2-w^2}{uw}$
BDt cần CM tương đương với:
$v(v^2+u^2-w^2)+u(w^2+u^2-v^2)+w(w^2+u^2-v^2)\geq 3uvw$
$\Leftrightarrow \sum u^3+(\sum u^2v)\geq \sum uv^2+3uwv$
Theo AM-GM ta có :
$\sum u^3+(\sum u^2v)\geq 2\sum uv^2$ và $\sum uv^2\geq 3uvw$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
- WhjteShadow yêu thích
<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.
.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.
#3
Đã gửi 28-11-2012 - 19:00
Một cách khác ... :")Cho $a, b, c$ là các số thực dương.
Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{a\sqrt{a+b}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$
Điều phải chứng minh tương đương:
$$\left(\sum \frac{1}{a\sqrt{a+b}}\right)^2\geq \frac{9}{2abc}$$
Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc $(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)$ thì ta cần chỉ ra:
$$\frac{1}{ab\sqrt{(a+b)(b+c)}}+\frac{1}{bc\sqrt{(b+c)(c+a)}}+\frac{1}{ca\sqrt{(c+a)(a+b)}}\geq \frac{3}{2abc}$$
$$\Leftrightarrow \frac{c}{\sqrt{(a+b)(b+c)}}+\frac{a}{\sqrt{(b+c)(c+a)}}+\frac{b}{\sqrt{(c+a)(a+b)}}\geq \frac{3}{2}$$
Sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$ và $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$$\sum \frac{c}{\sqrt{(a+b)(b+c)}}\geq \sum \frac{2c}{a+2b+c}\geq \frac{2(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}$$
Cuối cùng ta phải chỉ ra:
$$\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}\geq \frac{3}{4}$$
$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$$
Đây là 1 bất đẳng thức quen thuộc từ $AM-GM$
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c$
- Joker9999 yêu thích
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh
#4
Đã gửi 28-11-2012 - 19:15
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: toánthpt, toán 11, đh, hải
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh