Chủ đề này có 5 trả lời

[hxthanh]

Tôi gặp rất nhiều khó khăn khi tìm lời giải cho bài toán sau

Quy nạp chưa chắc đã ra!

Bài toán:
Cho các số nguyên dương $n$ và $m\quad$ thoả mãn $n\ge m$.
Chứng minh đẳng thức sau:
$$\sum_{j=m}^n\sum_{k=0}^{2m}{4j\choose 2k}{2j-k\choose 2m-k}={2n+2m+1\choose 4m+1}2^{4m-1}$$
_________________
Các bạn giúp tôi với!

[hxthanh]

Để phần nào định hướng được bài này và giảm tải số biến cần thiết

Ta cần phải giải được bài toán bổ đề sau:
Bổ đề:
Cho các số nguyên dương $n$ và $m\quad$ thoả mãn $n\ge m$.
Chứng minh đẳng thức sau:
$$S(n,m)=\sum_{k=0}^{m}{2n\choose 2k}{n-k\choose m-k}=2^{2m-1}\left[{n+1+m\choose 2m+1}-{n-1+m\choose 2m+1}\right]$$
_________________________
Chứng minh được bổ đề này, quay trở lại bài toán ban đầu ta sẽ có

$VT=\sum_{j=m}^n S(2j,2m)=\sum_{j=m}^n 2^{4m-1}\left[{2j+1+2m\choose 4m+1}-{2j-1+2m\choose 4m+1}\right]=VP$

Bài toán được chứng minh dễ dàng!
Vấn đề chỉ còn "mỗi" cái bổ đề trên kia

[hxthanh]

Nguồn gốc của bài đó là mình chế biến lại từ một bài trong tài liệu này
 paper87.pdf   57.11K   332 Số lần tải
Mình vẫn tin rằng tồn tại một cách tiếp cận sơ cấp cho bài này.

[hxthanh]

Tuy bạn haisupham trình bày còn hơi rối, nhưng quả thực lời giải này sơ cấp một cách phi thường!
Đây đúng là một cách tiếp cận bằng đạo hàm cấp cao không thể ngờ tới!
(Thật trùng hợp với bài toán của bạn!)

Dẫu sao qua bài toán này, tôi cũng thu về một số thứ nhất định (trong những ngày vật vã với nó). Bên cạnh đó, lời giải của haisupham cũng giúp tôi học hỏi được rất nhiều. Cảm ơn bạn nhiều nhé!

[hxthanh]

Bổ đề:
$$S(n,m)=\sum_{k=0}^{m}{2n\choose 2k}{n-k\choose m-k}=2^{2m-1}\left[{n+1+m\choose 2m+1}-{n-1+m\choose 2m+1}\right]$$

Thật tuyệt vời khi hoàn toàn giải quyết được bài này bằng phương pháp SPTP ...
mời cu dark templar

[dark templar]

Lời giải mà haisupham đã trình bày cho bổ đề của anh Thanh rất độc đáo,thế nhưng lời giải dưới đây sẽ cho chúng ta thấy sai phân từng phần ghê gớm đến thế nào !
Bây giờ ta xét công thức giai thừa của $(2n)!$ là :
$(2n)!=1.2.3.4....2n=(2.4.6...2n).(1.3.5...2n-1)=2^{n}.n!(2n-1)!!$
Ký hiệu $(2n-1)!!$ là giai thừa cách đôi.
Do đó :
$\binom{2n}{2k}\binom{n-k}{m-k}=\dfrac{(2n)!}{(2n-2k)!(2k)!}.\dfrac{(n-k)!}{(n-m)!(m-k)!}$
$=\dfrac{(2n)!}{(n-m)!}.\dfrac{(n-k)!}{2^{n-k}(n-k)!(2n-2k-1)!!2^{k}k!(2k-1)!!(m-k)!}$
$=\dfrac{(2n)!}{2^{n}(n-m)!m!}.\dfrac{\binom{m}{k}}{(2n-2k-1)!!(2k-1)!!}$
Như vậy :
$$\sum_{k=0}^{m}\binom{2n}{2k}\binom{n-k}{m-k}=\dfrac{(2n)!}{2^{n}(n-m)!m!}\sum_{k=0}^{m}(-1)^{k}\binom{m}{k}.\dfrac{(-1)^{k}}{(2n-2k-1)!!(2k-1)!!}$$
Theo sai phần từng phần với :
$\Delta f(k)=(-1)^{k}\binom{m-1}{k}-(-1)^{k-1}\binom{m-1}{k-1}=(-1)^{k}\binom{m}{k}$
$\Delta g(k)=\dfrac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)!!(2n-2k-3)!!}-\dfrac{(-1)^{k}}{(2n-2k-1)!!(2k-1)!!}$
$=(-1)^{k+1}.\dfrac{2n-2k-1+2k+1}{(2k+1)!!(2n-2k-1)!!}=2n.\dfrac{(-1)^{k+1}}{(2n-2k-1)!!(2k+1)!!}$
Ta có:
$\sum_{k=0}^{m}(-1)^{k}\binom{m}{k}.\dfrac{(-1)^{k}}{(2n-2k-1)!!(2k-1)!!}$
$=(-1)^{k-1}\binom{m-1}{k-1}.\dfrac{(-1)^{k}}{(2n-2k-1)!!(2k-1)!!}\Bigg|_{k=0}^{m+1}$
$-2n.\sum_{k=0}^{m}(-1)^{k}\binom{m-1}{k}.\dfrac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)!!(2n-2k-1)!!}$
$=2n\sum_{k=0}^{m-1}\dfrac{\binom{m-1}{k}}{(2k+1)!!(2n-2k-1)!!}$
Tiếp tục sai phân với :
$\Delta f(k)=(-1)^{k}\binom{m-2}{k}-(-1)^{k-1}\binom{m-2}{k-1}=(-1)^{k}\binom{m-1}{k}$
$\Delta g(k)=\dfrac{(-1)^{k+1}}{(2n-2k-3)!!(2k+3)!!}-\dfrac{(-1)^{k}}{(2n-2k-1)!!(2k+1)!!}$
$=(-1)^{k+1}.\dfrac{2n-2k-1+2k+3}{(2n-2k-1)!!(2k+3)!!}=(2n+2).\dfrac{(-1)^{k+1}}{(2n-2k-1)!!(2k+3)!!}$
Ta thu được :
$2n\sum_{k=0}^{m-1}\dfrac{\binom{m-1}{k}}{(2k+1)!!(2n-2k-1)!!}$
$=(2n)(-1)^{k-1}\binom{m-2}{k-1}.\dfrac{(-1)^{k}}{(2n-2k-1)!!(2k+1)!!}\Bigg|_{k=0}^{m}$
$-(2n)(2n+2)\sum_{k=0}^{m-1}(-1)^{k}\binom{m-2}{k}.\dfrac{(-1)^{k+1}}{(2n-2k-1)!!(2k+3)!!}$
$=(2n)(2n+2)\sum_{k=0}^{m-2}\dfrac{\binom{m-2}{k}}{(2n-2k-1)!!(2k+3)!!}$
Cứ sai phân như vậy đến $m$ lần,ta sẽ có :
$\sum_{k=0}^{m}\binom{2n}{2k}\binom{n-k}{m-k}=\dfrac{(2n)!}{2^{n}(n-m)!m!}\cdot\left[(2n)(2n+2)...(2n+2m-2)\sum_{k=0}^{m-m}\dfrac{\binom{m-m}{k}}{(2n-2k-1)!!(2k-1+2m)!!}\right]$
$=\dfrac{(2n)!}{2^{n}(n-m)!m!}\cdot\dfrac{2^m.n(n+1)...(n+m-1)}{(2n-1)!!(2m-1)!!}$
$=\dfrac{2^n.n!(2n-1)!!2^m.n(n+m-1)!}{2^n(n-m)!m!(2m-1)!!(2n-1)!!n!}$
$=\dfrac{2^{2m}.n(n+m-1)!}{(n-m)!(2m)!}$
$=2^{2m-1}\left[{n+1+m\choose 2m+1}-{n-1+m\choose 2m+1}\right]$
_________________
@hxthanh: Cảm ơn em nhiều, lời giải quá tuyệt!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 01-01-2013 - 09:58