Chủ đề này có 10 trả lời

[tyle]

Giải phương trình:
$$sin ^{2006}x+cos^{2005}x =1$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 17-09-2012 - 07:11

[Gioi han]

Giải phương trình:
$$sin ^{2006}x+cos^{2005}x =1$$

$sin ^{2006}x+cos^{2005}x =1$

$\Leftrightarrow sin^{2006}x –sin^{2}x + cos^{2005}x –cos^{2}x=0$
$\Leftrightarrow sin^{2}x(sin^{2004}x-1) + cos^{2}x(cos^{2003}-1)=0$
Ta có :
$\left\{\begin{matrix} sin^{2}x \geq 0 & & \\ sin^{2004}-1 \leq 0 && \\ cos^{2} \geq 0 & & \\ cos^{2003}-1 \leq 0 & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow sin^{2}x(sin^{2004}x-1) + cos^{2}x(cos^{2003}-1) \leq 0$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sinx = 0 & & \\ cosx= 0 \end{matrix}\right.$
hoặc
$\left\{\begin{matrix} sinx = 0 & & \\ cosx=1 \end{matrix}\right.$
hoặc
$ \left\{\begin{matrix} sinx=1 & & \\ cosx= 0 \end{matrix}\right.$ hoặc
$\left\{\begin{matrix} sinx =1 & & \\ cosx=1 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left[\begin{array} x = \frac{\pi}{2}+k 2\pi \\\ x= k2\pi , k \in {Z}\, \end{array}\right.$

[robin997]

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sinx = 0 & & \\ cosx= 0 \end{matrix}\right.$
hoặc
$\left\{\begin{matrix} sinx = 0 & & \\ cosx=1 \end{matrix}\right.$
hoặc
$ \left\{\begin{matrix} sinx=1 & & \\ cosx= 0 \end{matrix}\right.$ hoặc
$\left\{\begin{matrix} sinx =1 & & \\ cosx=1 \end{matrix}\right. $

Hình như bài giải thiếu nghiệm rồi thì phải (Thiếu nghiệm $x=\frac{3\pi }{2}+ 2k\pi$)
_____
Nghiệm sẽ là $x=\frac{\pi }{2}+ k\pi$ Hoặc $x=2k\pi$
Hay có thể ghi cách khác là $x=\frac{2k\pi }{3}-\frac{2\pi }{3}+\frac{\pi }{6}Cos\left(\frac{2k\pi }{3} \right)+\frac{\pi\sqrt{3}}{18}Sin\left(\frac{2k\pi }{3} \right)$ ($k\in Z$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 17-09-2012 - 20:14

[diepviennhi]

Ta có cách đánh giá sau: $\left\{\begin{matrix} cos^{2005}x\leq \begin{vmatrix} cosx \end{vmatrix}^{2005}\leq cos^{2}x\\ sin^{2006}x\leq sin^{2}x \end{matrix}\right.\Rightarrow cos^{2005}x+sin^{2006}x\leq sin^{2}x+cos^{2}x=1$
Do đó vế trái bằng vế phải khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} cos^{2005}x=cos^{2}x\\ sin^{2006}x=sin^{2}x \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} cos^{2}x(cos^{2003}x-1)=0\\ sin^{2}x(sin^{2004}x-1)=0 \end{matrix}\right.$
tương đường (cosx=0 hoặc cosx=1) và (sinx=0 hoặc cosx=0) tương đương cosx=0 hoặc cosx=1
Vậy $S=\begin{Bmatrix} \frac{\pi }{2}+k\pi ;k2\pi ,k\in Z \end{Bmatrix}$

[Mrnhan]

hình như thiếu nghiệm thì phải:

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangtuNhanAnh: 17-09-2012 - 20:16

[diepviennhi]

Hình như bài giải thiếu nghiệm rồi thì phải
_____
Nghiệm sẽ là $x=\frac{\pi }{2}+ k\pi$ Hoặc $x=2k\pi$
Hay có thể ghi cách khác là $x=\frac{2k\pi }{3}-\frac{2\pi }{3}+\frac{\pi }{6}Cos\left(\frac{2k\pi }{3} \right)+\frac{\pi\sqrt{3}}{18}Sin\left(\frac{2k\pi }{3} \right)$ ($k\in Z$)

Bài này đủ nghiệm rồi mà bạn

[triethuynhmath]

Giải phương trình:
$$sin ^{2006}x+cos^{2005}x =1$$

Có thể dùng cách này.Mọi người xem thử nha:
Ta có:
$sinx ,cos x\leq 1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq sin x\leq 1 \\ cos x\leq 1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} sinx^{2004}\leq 1 \\ cos x^{2003}\leq 1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} sinx^{2006}\leq sinx^2 \\ cosx^{2005}\leq cosx^2 \end{matrix}\right.\Rightarrow sinx^{2006}+cosx^{2005}\leq sinx^2+cosx^2=1$
Vậy để PT có nghiệm thì : $\left\{\begin{matrix} sinx=0 \\ cosx=1 \end{matrix}\right. V \left\{\begin{matrix} sinx=1 \\ cosx=0 \end{matrix}\right.$
EM không biết trình bày kết quả dạng lượng giác nên moi người thông cảm nhé

[PSW]

Chấm điểm:
nguyenhang28091996: 5 điểm

diepviennhi: 5 điểm

triethuynhmath: 5 điểm

[vuminhhoang]

Mình thấy topic này chưa có lời giải thoả đáng nên trả lời nhé !


Vì $sinx ; cosx \in [-1;1]$ nên $sin^{2006}x+cos^{2005}x \leq sin^2x+cos^2x = 1$

Như vậy PT ban đầu có nghiệm thoả mãn :

$TH1 : sinx = 1 ; cosx = 0 <=> x= \dfrac{\pi}{2}+k2\pi$

$TH2 : sinx = -1 ; cosx=0 <=> x= \dfrac{-\pi}{2}+k2\pi$

$TH3 : sinx = 0 ; cosx = 1 <=> x=k2\pi$

Kết luận : PTLG đã cho có 2 họ nghiệm là $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ và $k2\pi$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuminhhoang: 15-01-2013 - 11:16

[bdkfinn]

$TH1 : sinx = 1 ; cosx = 0

$TH2 : sinx = -1 ; cosx=0

$TH3 : sinx = 0 ; cosx = 1

giải thích thêm cho t với

[Hulk NH]

Có thể dùng cách này.Mọi người xem thử nha:
Ta có:
$sinx ,cos x\leq 1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq sin x\leq 1 \\ cos x\leq 1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} sinx^{2004}\leq 1 \\ cos x^{2003}\leq 1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} sinx^{2006}\leq sinx^2 \\ cosx^{2005}\leq cosx^2 \end{matrix}\right.\Rightarrow sinx^{2006}+cosx^{2005}\leq sinx^2+cosx^2=1$
Vậy để PT có nghiệm thì : $\left\{\begin{matrix} sinx=0 \\ cosx=1 \end{matrix}\right. V \left\{\begin{matrix} sinx=1 \\ cosx=0 \end{matrix}\right.$
EM không biết trình bày kết quả dạng lượng giác nên moi người thông cảm nhé

Chuẩn rồi, làm thế này nhanh hơn đấy