Chủ đề này có 2 trả lời

[DUONGSMILE]

Cho dãy số $U_N = (1+\frac{1}{N})^N$
chứng minh dãy tăng và bị chặn.
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 03-10-2014 - 21:42

[Ispectorgadget]

CHO DÃY SỐ U_N = (1+$\frac{1}{N}$)^N
CHỨNG MINH DÃY TĂNG VÀ BỊ CHẶN

\[{U_n} = {\left( {1 + \frac{1}{N}} \right)^N} = \sum\limits_{k = 0}^N {C_N^k\frac{1}{{{N^k}}} = 2 + \frac{1}{{2!}}\left( {1 - \frac{1}{N}} \right) + ... + \frac{1}{{k!}}\left( {1 - \frac{1}{N}} \right)} \left( {1 - \frac{2}{N}} \right)...\left( {1 - \frac{{k - 1}}{N}} \right)\]
(Vì $\frac{1}{{k!}}C_N^k = \frac{1}{k}.\frac{{N(N - 1)...(N - k + 1)}}{{k!}} = \frac{1}{{k!}}.\left( {1 - \frac{1}{N}} \right)\left( {a - \frac{2}{N}} \right)...\left( {1 - \frac{{k - 1}}{N}} \right)$ )
Tương tự với $U_{n+1}$
Bởi vì mỗi số hạng trong khai triển của $U_N$ nhỏ hơn hoặc bằng số hạng tương ứng trong khai triển của $U_{N+1}$ hơn nữa so với khai triển của $U_N$ thì khai triển của $U_{N+1}$ còn có thêm 1 số hạng dương nên ta có: $U_N < U_{N+1}; \forall N \in N$
Mặt khác $$U_N \le 2+\frac{1}{2!} +...+\frac{1}{N!} \le 2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{N-1}}$$
$$\le 1+ (1+\frac{1}{2!} +...+\frac{1}{N!} \le 2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{N-1}})=1+\frac{{1 - \frac{1}{{{2^N}}}}}{{1 - \frac{1}{2}}}$$
$$\le 3-\frac{1}{2^{N-1}} <3$$
Do đó $U_N < 3 , \forall N \in N$
Vậy $U_N$ là dãy tăng và bị chặn trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 02-12-2012 - 17:25

[macqueen]

CM: dãy $\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n+1}$ giảm