Chủ đề này có 3 trả lời

[Trần Đức Anh @@]

Chứng minh rằng: $\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}(-1)^{n-i}i^{n+1}=\frac{n(n+1)!}{2}$
Nếu ai có thêm bài tập dạng sử dụng lagrange nội suy thì cho mình với, file càng tốt.

[perfectstrong]

Lời giải:
Xét đa thức
\[
P\left( x \right) = x^{n + 1} - \prod\limits_{i = 0}^n {\left( {x - i} \right)} = \left( {\sum\limits_{i = 0}^n i } \right)x^n + \left( {\sum\limits_{1 \le i < j \le n} {ij} } \right)x^{n - 1} + .... + n!\quad \left( 1 \right)
\]
Dễ thấy $\deg P=n$ và $P(i)=i^{n+1}\,\,\forall i=\overline{0,n}$
Chú ý rằng \[
\prod\limits_{\scriptstyle j = 0 \atop
\scriptstyle j \ne i }^n {\left( {i - j} \right)} = i\left( {i - 1} \right)...1.\left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right)...\left( {i - n} \right) = \left( { - 1} \right)^{n - i} i!\left( {n - i} \right)!
\]
Nên sử dụng công thức nội suy Lagrange tại $n+1$ điểm $x_i=i\,\,\forall i=\overline{0,n}$, ta có:
\[
P\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {P\left( i \right)\prod\limits_{\scriptstyle j = 0 \atop
\scriptstyle j \ne i }^n {\frac{{x - j}}{{i - j}}} } = \sum\limits_{i = 0}^n {i^{n + 1} .\frac{{\prod\limits_{j = 0;j \ne i}^n {\left( {x - j} \right)} }}{{\left( { - 1} \right)^{n - i} i!\left( {n - i} \right)!}}}
\]
So sánh hệ số $x^n$ ở 2 vế của (1), ta có:
\[
\begin{array}{rcl}
\sum\limits_{i = 0}^n {\frac{{i^{n + 1} }}{{\left( { - 1} \right)^{n - i} i!\left( {n - i} \right)!}}} &=& \sum\limits_{i = 0}^n i = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} \\
\Rightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)n!}}{2} &=& \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{i^{n + 1} .n!}}{{\left( { - 1} \right)^{n - i} i!\left( {n - i} \right)!}}} \\
\Rightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)!}}{2} &=& \sum\limits_{i = 1}^n {\left( { - 1} \right)^{n - i} i^{n + 1} C_n^i } \\
\end{array}
\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 02-12-2012 - 21:08

[Trần Đức Anh @@]

Lời giải:
Xét đa thức
\[
P\left( x \right) = x^{n + 1} - \prod\limits_{i = 0}^n {\left( {x - i} \right)} = \left( {\sum\limits_{i = 0}^n i } \right)x^n + \left( {\sum\limits_{1 \le i < j \le n} {ij} } \right)x^{n - 1} + .... + n!\quad \left( 1 \right)
\]
Dễ thấy $\deg P=n$ và $P(i)=i^{n+1}\,\,\forall i=\overline{0,n}$
Chú ý rằng \[
\prod\limits_{\scriptstyle j = 0 \atop
\scriptstyle j \ne i }^n {\left( {i - j} \right)} = i\left( {i - 1} \right)...1.\left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right)...\left( {i - n} \right) = \left( { - 1} \right)^{n - i} i!\left( {n - i} \right)!
\]
Nên sử dụng công thức nội suy Lagrange tại $n+1$ điểm $x_i=i\,\,\forall i=\overline{0,n}$, ta có:
\[
P\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {P\left( i \right)\prod\limits_{\scriptstyle j = 0 \atop
\scriptstyle j \ne i }^n {\frac{{x - j}}{{i - j}}} } = \sum\limits_{i = 0}^n {i^{n + 1} .\frac{{\prod\limits_{j = 0;j \ne i}^n {\left( {x - j} \right)} }}{{\left( { - 1} \right)^{n - i} i!\left( {n - i} \right)!}}}
\]
So sánh hệ số $x^n$ ở 2 vế của (1), ta có:
\[
\begin{array}{rcl}
\sum\limits_{i = 0}^n {\frac{{i^{n + 1} }}{{\left( { - 1} \right)^{n - i} i!\left( {n - i} \right)!}}} &=& \sum\limits_{i = 0}^n i = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} \\
\Rightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)n!}}{2} &=& \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{i^{n + 1} .n!}}{{\left( { - 1} \right)^{n - i} i!\left( {n - i} \right)!}}} \\
\Rightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)!}}{2} &=& \sum\limits_{i = 1}^n {\left( { - 1} \right)^{n - i} i^{n + 1} C_n^i } \\
\end{array}
\]

Bước cuối cùng khi đưa $(-1)^{n-i}$ lên tử là sao?, có lẽ cần phải sửa lại đề nhỉ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trần Đức Anh @@: 03-12-2012 - 13:18

[hxthanh]

Bước cuối cùng khi đưa $(-1)^{n-i}$ lên tử là sao?, có lẽ cần phải sửa lại đề nhỉ?

$\Big((-1)^{n-i}\Big)^2=1$ hay $(-1)^{n-i}=\dfrac{1}{(-1)^{n-i}}$

Thực chất thì $(-1)^x$ chỉ là cái "dấu" thôi mà! Dấu thì đặt ở tử hay mẫu đều vậy cả!