Chủ đề này có 2 trả lời

[haiphong08]

Giải phương trình sau:
$$\dfrac{cos2x+\sqrt{3}sin2x+6sinx-5}{cos^{2}\frac{x}{2}-1}=2\sqrt{3}$$

[Kool LL]

Giải phương trình sau:
$$\dfrac{cos2x+\sqrt{3}sin2x+6sinx-5}{cos^{2}\frac{x}{2}-1}=2\sqrt{3}$$

ĐK : $\cos^2\frac{x}{2}\ne1\Leftrightarrow\sin\frac{x}{2}\ne0\Leftrightarrow x\ne k.2\pi$

$PT\Leftrightarrow \cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+3\sin x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}(\cos x-1)$

$\Leftrightarrow 1-2\sin^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\sqrt{3}(\sqrt{3}\sin x-cosx)-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}(\cos x+1)$

$\Leftrightarrow \sin^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-\sqrt{3}\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}(\cos x+1)$

$\Leftrightarrow \left[\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}\right]^2=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos^2\frac{x}{2}$

$\Leftrightarrow \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\cos\frac{x}{2}$ (1) hoặc $\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\cos\frac{x}{2}$ (2)

[chanhquocnghiem]

Giải phương trình sau:
$$\dfrac{cos2x+\sqrt{3}sin2x+6sinx-5}{cos^{2}\frac{x}{2}-1}=2\sqrt{3}$$

Điều kiện để vế trái có nghĩa là : $x\neq k.2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)

Khi đó phương trình đã cho tương đương với :

$\cos2x+\sqrt{3}\sin2x+6\sin x-5=\sqrt{3}\left ( \cos x-1 \right )$

$\Leftrightarrow 2\cos^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+6\sin x-6=\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}$

Dễ thấy $x\neq \pi +k.2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).Đặt $t=\tan\frac{x}{2}$, ta được

$2\left ( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right )^2+2\sqrt{3}\left ( \frac{2t}{1+t^2} \right )\left ( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right )+\frac{12t}{1+t^2}-6=\sqrt{3}\left ( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right )-\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow 2\left ( 1-t^2 \right )^2+4\sqrt{3}\left ( t-t^3 \right )+12t\left ( 1+t^2 \right )=\sqrt{3}\left ( 1-t^4 \right )+\left ( 6-\sqrt{3} \right )\left ( 1+t^2 \right )$

$\Leftrightarrow t^4-\left ( 6+2\sqrt{3} \right )t^3+\left ( 13+6\sqrt{3} \right )t^2-\left ( 18+10\sqrt{3} \right )t+\left ( 4+2\sqrt{3} \right )=0$

Phương trình bậc bốn này có $2$ nghiệm thực là :

$t_{1,2}=$

$\frac{1}{2}\left [ \left ( 3+\sqrt{3}+\sqrt{y-1} \right )\pm \sqrt{\left ( 3+\sqrt{3}+\sqrt{y-1} \right )^2-\frac{2y\left ( 3+\sqrt{3}+\sqrt{y-1} \right )-36-20\sqrt{3}}{\sqrt{y-1}}} \right ]$

Trong đó $y=\frac{1}{3}\left [ \sqrt[3]{\sqrt{\left ( 1403+810\sqrt{3} \right )^2+\left ( 179+108\sqrt{3} \right )^3}-1403-810\sqrt{3}}-\sqrt[3]{\sqrt{\left ( 1403+810\sqrt{3} \right )^2+\left ( 179+108\sqrt{3} \right )^3}+1403+810\sqrt{3}}+13+6\sqrt{3} \right ]$

Thay giá trị của $y$ vào $t_{1}$ và $t_{2}$, cuối cùng ta có $2$ họ nghiệm :

$x_{1}=2\arctan t_{1}+k.2\pi \approx 2,847406425+k.2\pi$

$x_{2}=2\arctan t_{2}+k.2\pi \approx 0,486395775+k.2\pi$

($k\in \mathbb{Z}$)

Phương trình đã cho có $2$ họ nghiệm là $x_{1}$ và $x_{2}$ như đã nêu trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 13-06-2014 - 22:08