Chủ đề này có 25 trả lời

[tran thanh binh dv class]

À không khoan đã. Mình không sai. Bạn xem lại nhé

Theo mình thì bạn nên viết lại hoàn chỉnh hoặc không viết 2 cái phía sau thì chính xác hơn. Cái này phải chờ BGK xem xét thôi

[BoFaKe]

Lâu ngày không vào MO, giờ làm liều thôi !

Ta có BĐT tương đương với:
$$\sum \dfrac{a(b+c)}{a^2+2bc} \leq 2+2\prod \dfrac{(a-b)^2}{c^2+2ab}$$
$$\Leftrightarrow \sum a (b+c)(b^2+2ca)(c^2+2ab) \leq 2 \prod (a^2+2bc) +2 \prod (a-b)^2$$
$$\Leftrightarrow 2p^2q^2+15pqr-4q^3-4rp^3-27r^2 \leq 2 (p^2-2q) q^2$$
$$\Leftrightarrow r (4p^3-15 p q+27r) \geq 0$$
$$\Leftrightarrow 4p^3-15 p q+27r \geq 0$$

Ta sẽ chứng minh lại BĐT Schur tương đương với $p^3+9r \geq 4 p q$
(Chứng minh lại mới khổ chứ !!!)
Do $a+b+c=p$ mà ta luôn có: $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc$ với mọi $a,b,c>0$
Thật vậy, ta chứng minh lại : (Theo lời giải WhjteShadow - Trước cậu nói với tớ, giờ quên rồi)
Nếu trong 3 số $a+b-c,b+c-a,c+a-b$ đều là 3 số âm thì $VT<0<VP$
Nếu trong 3 số $a+b-c,b+c-a,c+a-b$ có 2 số âm thì không ấm tính tổng quát giả sử $a+b-c<0$ và $b+c-a<0$. Khi đó $2b<0$ (Vô lý)
Nếu trong 3 số $a+b-c,b+c-a,c+a-b$ có 1 số âm thì $VT \leq 0<VP$
Nếu trong 3 số không có số âm nào, ta có:

$(a+b-c)(b+c-a) = b^2-(a-c)^2 \leq b^2$
$(b+c-a)(c+a-b) = c^2-(b-a)^2 \leq c^2$
$(c+a-b)(a+b-c) = a^2-(c-b)^2 \leq a^2$
Suy ra: $[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]^2 \leq a^2b^2c^2$
Hay $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc$ (vì $a, b, c >0$)
Xong !

Trở lại, ta thấy $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc$ nên $(p-2a)(p-2b)(p-2c) \leq abc$
Tương đương với $p^3+9r \geq 4 p q$
Vậy ta chứng minh được bổ đề rồi (Chứng minh Schur theo cách thầy Thắng, he he)

Trở lại với bài toán.
Ta có $4p^3-15 p q+27r=4(p^3+9r-4pq)+(pq-9r) \geq 0$ (Theo BĐT AM-GM + Schur)
Từ đó ta có đpcm.

Với $p=a+b+c$ và $q=ab+bc+ca$ và $r=abc$
Khi đó $pq-9r=(a+b+c)(ab+bc+ca)-9r \geq 0$

__________________
P/s: Đúng sự thật !

Cái đoạn chứng minh Schur,cho cậu cách này cho nhanh,đỡ loằng ngoằng mất thời giờ.
Đặt $a=x+y;b=y+z;c=z+x$.Khi đó ta cần chứng minh:
$(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz$(Đúng theo Cô-si).
---------------------------------------------------------
P/S:Không biết như trên đúng không nhỉ

[nthoangcute]

Cái đoạn chứng minh Schur,cho cậu cách này cho nhanh,đỡ loằng ngoằng mất thời giờ.
Đặt $a=x+y;b=y+z;c=z+x$.Khi đó ta cần chứng minh:
$(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz$(Đúng theo Cô-si).
---------------------------------------------------------
P/S:Không biết như trên đúng không nhỉ

Mình không chắc lắm nhưng mà chưa chắc x,y,z>0

[BoFaKe]

Mình không chắc lắm nhưng mà chưa chắc x,y,z>0

Chắc cái này phụ thuộc vào cách chọn,nếu đúng thì ta nên thêm câu với $x,y,z>0$ để tránh sự cố.

[Joker9999]

Theo mình thì bạn nên viết lại hoàn chỉnh hoặc không viết 2 cái phía sau thì chính xác hơn. Cái này phải chờ BGK xem xét thôi

Nhầm rồi.Cách mình không dùng SOS bình thường mà chỉ dùng kiểu phân tích thôi bạn. Theo mình là chính xác rồi.

[E. Galois]

Trận này, BTC đã điều động dark_templar làm trọng tài, điểm ra đề:
$D = 4x2 + 18*3+30=92$