Nếu $P(x)$ là đa thức hằng thì $P(x) \vdots 0$ hoặc $P(x) \vdots 1$
Nếu $P(x)=ax+b$, thay vào ko thỏa mãn
Dễ thấy $P(x)=x^2-x+2$ thoả mãn.
Nếu $deg P$ lẻ thì tồn tại $x_0$ thỏa mãn: $P(x_0)=0$
Khi đó các số hạng của dãy sau đều là nghiệm của $P(x)$
$\left\{\begin{matrix}
x_1=x_0\\
x_{n+1}=x_n^2+2
\end{matrix}\right.$
VL do dãy trên có vô số số hạng.
Nếu $deg P$ chẵn thì ta có thể đặt:
$P(x)=(x^2-x+2)^m+Q(x) (deg Q < 2m)$
Thay vào giả thiết, đồng nhất hệ số ta có: $deg Q=2m (VL)$
$\Rightarrow Q(x) \vdots 0$
$\Rightarrow P(x)=(x^2-x+2)^m ( m \in \mathbb{N})$
em trình bày lại cho dễ hiểu:
+) nếu f(x)=C
+) nếu f(x) ko phải là đa thức hằng, ta có
nếu f(x) có 1 nghiệm là $t_{0}$ thì $t_{1}=t_{0}^2+2$ cũng là nghiệm
bằng quy nạp, ta có: nếu f(x) có 1 nghiệm $t_{n}$ thì $t_{n+1}=t_{n}^2+2$ cũng là 1 nghiệm của nó.
vì $t_{n+1}-t_{n}=t_{n}^2-t_{n}+2>0$ với mọi n nên $t_{1}, t_{2},...t_{n}$ là dãy tăng và vô hạn. Điều này không xảy ra.
vì vậy f(x)=0 vô nghiệm. Suy ra bậc của f(x) là bậc chẵn.
Bằng cách so sánh hệ số 2 vế. ta thấy hệ số tương ứng với số mũ cao nhất là 1.
nếu $f(x)=x^2+bx+c$ thì từ trên ta có $f(x)=x^2-x+2$
bây giờ xét đa thức $g(x)=f(x)-(x^2-x+2)^m$
nếu g(x)=0 thì f(x)=..
nếu g(x)#0 thì
so sánh sánh bậc thì thấy vô lí. nên g(x)=0.