Đến nội dung


Hình ảnh

$P(x)P(x+1)=P(x^{2}+2)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hồ Chí Minh
  • Sở thích:dota, học toán

Đã gửi 07-12-2012 - 22:22

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn:
$P(x)P(x+1)=P(x^{2}+2)$
Anh supermember gợi ý : bài này có nghiệm không tầm thường là :
$P\left ( x \right ) \equiv \left ( x^2-x+2 \right )^n ; n \in \mathbb{N^{*}}$
Hãy chứng minh đó là nghiệm không tầm thường duy nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 09-12-2012 - 08:05


#2 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Đã gửi 09-12-2012 - 00:12

Tìm tất cả các đa thức P(x) hệ số thực thỏa mãn:
$P(x)P(x+1)=P(x^{2}+2)$

Nếu $P(x)$ là đa thức hằng thì $P(x) \vdots 0$ hoặc $P(x) \vdots 1$
Nếu $P(x)=ax+b$, thay vào ko thỏa mãn
Dễ thấy $P(x)=x^2-x+2$ thoả mãn.
Nếu $deg P$ lẻ thì tồn tại $x_0$ thỏa mãn: $P(x_0)=0$
Khi đó các số hạng của dãy sau đều là nghiệm của $P(x)$

$\left\{\begin{matrix}
x_1=x_0\\
x_{n+1}=x_n^2+2
\end{matrix}\right.$
VL do dãy trên có vô số số hạng.
Nếu $deg P$ chẵn thì ta có thể đặt:
$P(x)=(x^2-x+2)^m+Q(x) (deg Q < 2m)$
Thay vào giả thiết, đồng nhất hệ số ta có: $deg Q=2m (VL)$
$\Rightarrow Q(x) \vdots 0$
$\Rightarrow P(x)=(x^2-x+2)^m ( m \in \mathbb{N})$
TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC

#3 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 10-12-2012 - 08:32

Nếu $P(x)$ là đa thức hằng thì $P(x) \vdots 0$ hoặc $P(x) \vdots 1$
Nếu $P(x)=ax+b$, thay vào ko thỏa mãn
Dễ thấy $P(x)=x^2-x+2$ thoả mãn.
Nếu $deg P$ lẻ thì tồn tại $x_0$ thỏa mãn: $P(x_0)=0$
Khi đó các số hạng của dãy sau đều là nghiệm của $P(x)$

$\left\{\begin{matrix}
x_1=x_0\\
x_{n+1}=x_n^2+2
\end{matrix}\right.$
VL do dãy trên có vô số số hạng.
Nếu $deg P$ chẵn thì ta có thể đặt:
$P(x)=(x^2-x+2)^m+Q(x) (deg Q < 2m)$
Thay vào giả thiết, đồng nhất hệ số ta có: $deg Q=2m (VL)$
$\Rightarrow Q(x) \vdots 0$
$\Rightarrow P(x)=(x^2-x+2)^m ( m \in \mathbb{N})$

em trình bày lại cho dễ hiểu:
+) nếu f(x)=C
+) nếu f(x) ko phải là đa thức hằng, ta có
nếu f(x) có 1 nghiệm là $t_{0}$ thì $t_{1}=t_{0}^2+2$ cũng là nghiệm
bằng quy nạp, ta có: nếu f(x) có 1 nghiệm $t_{n}$ thì $t_{n+1}=t_{n}^2+2$ cũng là 1 nghiệm của nó.
vì $t_{n+1}-t_{n}=t_{n}^2-t_{n}+2>0$ với mọi n nên $t_{1}, t_{2},...t_{n}$ là dãy tăng và vô hạn. Điều này không xảy ra.
vì vậy f(x)=0 vô nghiệm. Suy ra bậc của f(x) là bậc chẵn.
Bằng cách so sánh hệ số 2 vế. ta thấy hệ số tương ứng với số mũ cao nhất là 1.
nếu $f(x)=x^2+bx+c$ thì từ trên ta có $f(x)=x^2-x+2$
bây giờ xét đa thức $g(x)=f(x)-(x^2-x+2)^m$
nếu g(x)=0 thì f(x)=..
nếu g(x)#0 thì
so sánh sánh bậc thì thấy vô lí. nên g(x)=0.

$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh