Chủ đề này có 2 trả lời

[funcalys]

Chứng minh mọi không gian metric tách được có một cơ sở đếm được.

* Định nghĩa cơ sở (trong không gian metric): Một họ $\left \{ V_{\alpha} \right \}$ các tập mở thuộc $X$ được gọi là một cơ sở của $X$ nếu $\forall x \in X, \exists \alpha: x \in V_{\alpha} \subset X$.

[KhuongHoangTuong]

Gọi $X$ là không gian metric đã cho.

Vì $X$ khả ly nên nó chứa một tập con $Y$ đếm được và trù mật. Cụ thể là với $x \in X$ $\exists$ $y \in Y$ sao cho  $d(x,y)< \varepsilon$

 

Do đó ta sẽ xây dựng một $\varepsilon$-lưới của tập $X$. như sau:

  Với mỗi  $k =1,2,...$ ta lấy một $(1/k)$- lưới hữu hạn  $A_{k}$ cho $X$.

Tập $A=\cup _{i=1}^{\infty }A_{k}$ là một tập đếm được và trù mật trong $X$ vì với mỗi phần tử 

 

 $x \in X$ và một  $\varepsilon > 0$ thì trong $\varepsilon$-lân cận của $x$ sẽ có ít nhất một phần tử của $A_{k}\subset A$ với  $1/k < \varepsilon$

 Nói cách khác sẽ tồn tại $A_{k}\subset A$  sao cho $x \in A_{k}$ bằng cách chọn k sao cho  $1/k < \varepsilon$.

 

Như vậy $\left \{ A_{k} \right \}$ là một cơ sở đếm được của $X$.

 

 

[HoaTheKiet]

Có cách khác.

$\cup _{x \in X}B(x,r)$ là một phủ mở của X.

X khả ly nên mọi phủ mở của X đều tồn tại phủ con đếm được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoaTheKiet: 12-11-2013 - 09:31