Đến nội dung


Hình ảnh

$f(f(n))=f(n)+n$. Chứng minh rằng không có các hàm số khác thoả mãn


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 10-12-2012 - 11:48

Một hàm $f:N\rightarrow N$ cho mỗi số tự nhiên $n$ một giá trị $f(n)$ cũng là số tự nhiên, theo công thức $f(f(n))=f(n)+n$
a) Hãy tìm hai hàm số như vậy
b) Chứng minh rằng không có các hàm số khác thoả mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yellow: 10-12-2012 - 11:48


$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#2 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 01-01-2013 - 02:59

Một hàm $f:N\rightarrow N$ cho mỗi số tự nhiên $n$ một giá trị $f(n)$ cũng là số tự nhiên, theo công thức $f(f(n))=f(n)+n$
a) Hãy tìm hai hàm số như vậy
b) Chứng minh rằng không có các hàm số khác thoả mãn


Xét dãy $\left\{ {{u_n}} \right\}:\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = n\\
{u_{n + 1}} = f\left( {{u_n}} \right)
\end{array} \right.$


\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = n\\
{u_2} = f\left( n \right)\\
{u_{n + 1}} = {u_n} + {u_{n - 1}}
\end{array} \right.\]

Phương trình đạc trưng:


\[{\lambda ^2} = \lambda + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\lambda = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\
\lambda = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right.\]

Khi đó ta có: \[{u_n} = {c_1}{\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^n} + {c_2}{\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^n}\]

Cho $n=1;2$ ta có:


\[\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = n = {c_1}\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) + {c_2}\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)\\
{u_2} = f\left( n \right) = {u_n} = {c_1}{\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^2} + {c_2}{\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^2}
\end{array} \right.\]

Giải hệ phương trình dãy ta được dãy số cần tìm.

#3 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 01-01-2013 - 08:16

Xét dãy $\left\{ {{u_n}} \right\}:\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = n\\
{u_{n + 1}} = f\left( {{u_n}} \right)
\end{array} \right.$

Lời giải này không ổn. Nếu như vậy với mỗi giá trị $f(u_1)$ sẽ có 1 hàm khác à? Bài này là $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, khác với $f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh