Chủ đề này có 1 trả lời

[chuyentoan]

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương: $ a_1,...,a_n$ thỏa mãn:
$$\sum^n_{i=1}\dfrac{i}{a_i}=\dfrac{1}{n}\sum^n_{i=1}a_i$$

DDTH

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 06-03-2013 - 22:54

[nguyenta98]

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương: $ a_1,...,a_n$ thỏa mãn:
$$\sum^n_{i=1}\dfrac{i}{a_i}=\dfrac{1}{n}\sum^n_{i=1}a_i$$

DDTH

Giải như sau:
TH1: $n$ là số lẻ, đặt $n=2k+1$, ta có chọn $a_i=a_{n-i}=2(k+1)$ với $i=1,2,...,k$ còn $a_{k+1}=1$
Khi ấy $VT=\sum^n_{i=1}\dfrac{i}{a_i}=2k+1$ còn $\dfrac{1}{n}\sum^n_{i=1}a_i=\dfrac{1}{2k+1}\left(\sum{(a_i+a_{n-i})}+1\right)=\dfrac{1}{2k+1}(2k(2k+1)+1)=2k+1$ do đó với mọi $n$ lẻ đều thỏa mãn đề bài
TH2: $n$ là số chẵn, đặt $n=2k$
Chọn $a_n=2k$ khi ấy $\sum^n_{i=1}\dfrac{i}{a_i}=\sum^{n-1}_{i=1}\dfrac{i}{a_i}+1$ còn $VP=\dfrac{1}{n}\sum^n_{i=1}a_i=\dfrac{1}{n}\sum^{n-1}_{i=1}a_i+1$
Do đó $\sum^{n-1}_{i=1}\dfrac{i}{a_i}=\dfrac{1}{n}\sum^{n-1}_{i=1}a_i$ $(1)$
Gọi $x$ là số cặp $a_i,a_{n-i}=k$, $y$ là số cặp $a_j,a_{n-j}=2k$ và $z$ là số cặp $a_t,a_{n-t}=4k$, ngoài ra số $a_k$ xét riêng ở số $\dfrac{k}{a_k}$ $(2)$. Lúc đó $2x+2y+2z+1=n-1=2k-1 \Rightarrow x+y+z=k-1$
Thay các biến mới $x,y,z$ ở $(2)$ vào $(1)$ ta có
$\dfrac{n}{k}.x+\dfrac{n}{2k}.y+\dfrac{n}{4k}.z+\dfrac{k}{a_k}=\dfrac{1}{2k}.(2kx+4ky+8kz+a_k)=x+2y+4z+\dfrac{a_k}{2k}$
$2x+y+\dfrac{1}{2}.z+\dfrac{k}{a_k}=x+2y+4z+\dfrac{a_k}{2k}$
$4x+2y+z+\dfrac{2k}{a_k}=2x+4y+8z+\dfrac{a_k}{k}$
$2(x-y)=7z+\dfrac{a_k}{k}-\dfrac{2k}{a_k}$ chọn $a_k=2k$ khi ấy $2(x-y)=7z+1$ thay $z=k-1-x-y$
Khi ấy $2(x-y)=7(k-1-x-y)+1 \Rightarrow 9x+5y=7k-6 \Rightarrow 5(x+y)+4x=7k-6$ mà $x+y=k-1-z$ nên $5(k-1-z)+4x=7k-6 \Rightarrow 4x=2k-1+5z \Rightarrow 4(x-z)=2k-1+z$ mà $x+y+z=k-1$
Nếu $k-1 \vdots 2$ hay $k-1=2r$ thì chọn $x-z=r+1$ thì $4(r+1)=2(k-1)+z+1 \Rightarrow 4r+4=4r+z+1 \Rightarrow z=3$
Lúc đó $x-z=r+1 \Rightarrow x=r+4$ và như thế $y=k-1-x-z=2r-(r+4)-3=r-7$
Nếu $k-1 $ lẻ thì $k-1=2r+1$ tiếp tục thay như trên $x-z=r+1$ thì $z=1$ và $x=r+2$ từ đó $y=k-1-x-z=2r-(r+2)-1=r-3$
Như vậy ở trường hợp $k-1 \vdots 2$, nếu $r\geq 7$ hay $k-1 \geq 14$ hay $k\geq 15$ thì có nghiệm $x,y,z$ nguyên từ đó bài toán được cm, và ở trường hợp $k-1 \not \vdots 2$ nếu $r\geq 3$ hay $k-1\geq 6$ hay $k\geq 7$ thì có nghiệm $x,y,z$ nguyên từ đó bài toán được cm, như vậy giờ ta chỉ cần xét $k\le 14$ là xong
Như vậy với $k\geq 15$ hay $n\geq 30$ với $n$ chẵn thì bài toán được cm hoàn toàn
Với $k=14$ chọn $a_k=2k$ thì $x=8,y=4,z=1$ từ đó $n=28$ thỏa
Với $k=13$ chọn $a_k=k$ thì $9x+5y=7k-8$ khi ấy $x=7,y=4,z=1$
Với $k=12$ chọn $a_k=2k$ thì $x=7,y=3,z=1$
Với $k=11$ chọn $a_k=k$ thì $x=6,y=3,z=1$
Với $k=10$ chọn $a_k=2k$ thì $x=6,y=2,z=1$
Với $k=9$ chọn $a_k=k$ thì $x=5,y=2,z=1$
Với $k=8$ chọn $a_k=2k$ thì $x=5,y=1,z=1$
Với $k=7$ chọn $a_k=k$ thì $x=4,y=1,z=1$
Với $k=6$ chọn $a_k=2k$ thì $x=4,y=0,z=1$
Với $k=5$ chọn $a_k=k$ thì $x=3,y=0,z=1$
Do đó giờ chỉ còn $k=1,2,3,4$ nhưng $k=1$ thì $n=2$ hay $\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{2}{a_2}=\dfrac{1}{2}(a_1+a_2)$ giải phương trình nghiệm nguyên này dễ dàng thu được vô nghiệm
Do đó chỉ còn $k=2,3,4$ hay chỉ còn trường hợp $n=4,6,8$ đến đây ta có thể tính toán trực tiếp để tìm nghiệm hoặc cm vô nghiệm, cái này mình xin hoàn thiện sau
Vậy $n \in N^{*}$ và $n\neq 2,4,6,8$ thì chắc chắn có nghiệm, còn $n=4,6,8$ thì mình xin hoàn thiện sau