Đến nội dung

Hình ảnh

[MSS2013] Trận 15 - PT, HPT đại số


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 22 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 14/12/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:

1) Trận 15 có 26 toán thủ tham gia nên sau trận này sẽ có 3 toán thủ bị loại

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

3) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ nào tự ý sửa bài làm của mình sẽ được 0 điểm

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Đề bài trận 15:(Đề của BTC)

Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}x-2\sqrt{y^2+8}+7=0\\ y-2\sqrt{x^2+8}+7=0\end{cases}$$

_________________
BTC xin lỗi tất cả các toán thủ vì sự cố đề (do vượt cấp học), BTC đã thay lại đề như trên

Thời gian làm bài tính từ 21h ngày 14/12/2012

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 14-12-2012 - 20:52
Đính chính đề


#3
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết

Đề bài trận 15:(Đề của BTC)

Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}x-2\sqrt{y^2+8}+7=0\\ y-2\sqrt{x^2+8}+7=0\end{cases}$$

_________________
BTC xin lỗi tất cả các toán thủ vì sự cố đề (do vượt cấp học), BTC đã thay lại đề như trên

Thời gian làm bài tính từ 21h ngày 14/12/2012

Đặt $y^2 +8 =a ; x^2 +y =b$ $\qquad x^2+8=b$ chứ?
Ta có :
$x =\sqrt{b-8}$
$y =\sqrt{a-8}$
Thay vào ta có :
$$\begin{cases}\sqrt{b-8} -2\sqrt{a} +7 =0\\ \sqrt{a-8} -2\sqrt{b} +7 =0\end{cases}$$
Trừ cho nhau ta có:
$\sqrt{b-8} -2\sqrt{a} -\sqrt{a-8} +2\sqrt{b} =0$
$\Leftrightarrow \frac{b-8 -a+8}{\sqrt{b-8} +\sqrt{a-8}} -2(\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}) =0$
$\Leftrightarrow (b-a)(\sqrt{b-8} +\sqrt{a-8} +\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}) =0$

(Phải là $\Leftrightarrow (b-a)\left(\dfrac{1}{\sqrt{b-8} +\sqrt{a-8}} +\dfrac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right) =0$)

Vì $\sqrt{b-8} +\sqrt{a-8} +\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} > 0 \forall a,b$

(Vì $\dfrac{1}{\sqrt{b-8} +\sqrt{a-8}} +\dfrac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} > 0 \forall a,b$)

$\Rightarrow PT \Leftrightarrow a=b$
$\Leftrightarrow x-8 =y-8$
$\Leftrightarrow y=x$
Thay Vào PT Đầu ta có :
$x -2\sqrt{x^2 +8} +7 =0$
$\Leftrightarrow (x+7)^2 =4(x^2 +8)$
$\Leftrightarrow x^2 +14x +49 =4x^2 +32$
$\Leftrightarrow 3x^2 -14x -17 =0$
$\Leftrightarrow (x+1)(3x -17) =0$
$\Leftrightarrow x= -1$ hoặc $x =\frac{17}{3}$
$\Leftrightarrow (x;y) =(-1;-1) (\frac{17}{3} ; \frac{17}{3})$
___________________________________________
Cách làm này rất phù hợp, rất tiếc em đã viết sai ở các chỗ như trên
Điểm bài làm: $d=8$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-0}{2}\right\rfloor+3\times 8+0+8=58$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 20-12-2012 - 14:03
Chấm điểm!


#4
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
Bài làm của MSS01-BlackSelena:

$$\begin{cases}x-2\sqrt{y^2+8}+7=0 (1)\\ y-2\sqrt{x^2+8}+7=0(2)\end{cases}$$
Lấy $(1) - (2)$, ta có:
$x-y = 2(\sqrt{y^2+8} + \sqrt{x^2+8})$ $\qquad x-y=2\left(\sqrt{y^2+8}-\sqrt{x^2+8}\right)$
$\Leftrightarrow x-y = 2\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+8} + \sqrt{y^2+8}}$
$\Leftrightarrow (x-y)(1-\frac{x+y}{\sqrt{x^2+8} + \sqrt{y^2+8}}) = 0$ $\quad\Leftarrow \text{Sai!}$
$\Leftrightarrow x=y$, bởi hiển nhiên $ \sqrt{x^2 + 8} + \sqrt{y^2 + 8} > |y| + |x| \ge x+y$
Thay $x=y$ vào $(1)$, ta có:
$y + 7 = 2\sqrt{y^2+8}$
$\Leftrightarrow 3y^2 +14y - 17 = 0$
$\Leftrightarrow (y+1)(y-\frac{17}{3}) = 0$
$\Leftrightarrow y \in \begin{Bmatrix}-1, \frac{17}{3}\end{Bmatrix}$
$\Rightarrow x \in \begin{Bmatrix}-1, \frac{17}{3}\end{Bmatrix}$
Vậy hpt có nghiệm $(x;y) = (-1;-1) ; (\frac{17}{3}; \frac{17}{3})$
__________________________________
Sai lầm đáng trách!
Bài này không được tính điểm (theo nguyện vọng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 20-12-2012 - 14:07
Chấm điểm!


#5
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
Bài làm của daovuquang:
Viết lại hệ: $$\begin{cases}x-2\sqrt{y^2+8}+7=0\; (1)\\ y-2\sqrt{x^2+8}+7=0\; (2)\end{cases}$$
Điều kiện: $\begin{cases}x^2+8 \geq 0 \geq 0\\y^2+8 \geq 0\end{cases}$
$\Rightarrow$ hệ xác định với mọi $x,y$.
Lấy $(1)$ trừ $(2)$ được: $x-y+2(\sqrt{x^2+8}-\sqrt{y^2+8})=0$
$\Leftrightarrow (x-y)+\frac{2(x^2-y^2)}{\sqrt{x^2+8}+\sqrt{y^2+8}}=0$
$\Leftrightarrow (x-y)[1+\frac{2(x+y)}{\sqrt{x^2+8}+\sqrt{y^2+8}}]=0$
$\Leftrightarrow x=y$ hoặc $1+\frac{2(x+y)}{\sqrt{x^2+8}+\sqrt{y^2+8}}=0$.
Ta xét 2 trường hợp:
TH1: $x=y$
Thay vào $(1)$ ta được: $x+7=2\sqrt{x^2+8}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x+7 \geq 0\\x^2+14x+49=4(x^2+8)\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x \geq -7\\3x^2-14x-17=0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x \geq -7\\(x+1)(3x-17)=0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x \geq -7\\\begin{bmatrix}x=-1\\ x=\frac{17}{3}\end{bmatrix}\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=-1\\ x=\frac{17}{3}\end{bmatrix}$.
Suy ra $(x;y)=(-1;-1);(\frac{17}{3};\frac{17}{3})$.
TH2: $1+\frac{2(x+y)}{\sqrt{x^2+8}+\sqrt{y^2+8}}=0\; (3)$
Ta có $(3) \Leftrightarrow 2(x+y)=-\sqrt{x^2+8}-\sqrt{y^2+8}$
$\Leftrightarrow 3(x+y)=(x-\sqrt{y^2+8})+(y-\sqrt{x^2+8})\; (4)$.
Từ $(1)$, $(2)$ và $(4)$, ta suy ra $3(x+y)=-14 \Leftrightarrow y=-\frac{14}{3}-x$.
Thay vào $(1)$: $x-2\sqrt{x^2+\frac{28}{3}x+\frac{268}{9}}+7=0$
$\Leftrightarrow x+7=2\sqrt{x^2+\frac{28}{3}x+\frac{268}{9}}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x+7 \geq 0\\x^2+14x+49=4(x^2+\frac{28}{3}x+\frac{268}{9})\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x \geq -7\\3x^2+\frac{70}{3}x+\frac{631}{9}\; (5)\end{cases}$.
Xét $\Delta_{(5)}=(\frac{70}{3})^2-4.3.\frac{631}{9}=-\frac{2672}{9}<0 \Rightarrow (5)$ vô nghiệm.
Kết luận: Vậy $(x;y)=(-1;-1);(\frac{17}{3};\frac{17}{3})$.
______________________________________
Điểm bài làm $d=10$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-1}{2}\right\rfloor + 3\times 10+0+0=55$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 20-12-2012 - 13:45
Chấm điểm!


#6
thanhluong

thanhluong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
Bài làm của thanhluong:
Bổ đề : Nếu hàm số $f(x)$ luôn đồng biến trên $R$ thì:
$f(x)=f(y) \Rightarrow x=y$, $\forall x$, $y \in R$.
Chứng minh:
Giả sử $f(x)=f(y)$ và $x \neq y$.
Trường hợp $x > y$, $f(x)$ đồng biến trên $R$ nên $f(x) > f(y)$.
Tương tự với $x < y$, ta được $f(x) < f(y)$.
Cả hai đều cho kết quả mâu thuẫn với giả thiết là $f(x)=f(y)$. Nên $x=y$. Bổ đề được chứng minh.
Quay trở lại bài toán. Hệ phương trình đã cho tương đương với:
$\begin{cases}x-2\sqrt{y^2+8}=-7 (1) \\ y-2\sqrt{x^2+8}=-7 (2) \end{cases}$
Trừ $(1)$ cho $(2)$ vế theo vế, ta được:
$x – 2\sqrt{y^2+8} – y + 2\sqrt{x^2+8}=0$
$\Leftrightarrow x + 2\sqrt{x^2+8} = y + 2\sqrt{y^2+8}$.
Xét hàm số $f(x) = x+2\sqrt{x^2+8}$, lấy hai giá trị bất kì $x_1$, $x_2 \in R$ và $x_1 < x_2$, ta có:
$f(x_1) – f(x_2) = x _1 +2\sqrt{x_1^2+8} – x_2 – 2\sqrt{x_2^2+8} = (x_1 – x_2) +2(\sqrt{x_1^2+8}-\sqrt{x_2^2+8} <0$

Chứng minh này chưa chặt! $(x_1-x_2)<0$ nhưng có thể $2(\sqrt{x_1^2+8}-\sqrt{x_2^2+8})>0$ (Tham khảo đáp án)

$\Rightarrow f(x)=x+2\sqrt{x^2+8}$ đồng biến trên $R$, áp dụng bổ đề 1, ta có $f(x)=f(y)$ nên $x=y$.
Thay $x=y$ vào $(1)$, ta được:
$x – 2\sqrt{x^2+8} = -7$
$\Leftrightarrow x + 7 = 2\sqrt{x^2+8} \Rightarrow (x+7)^2 = 4(x^2+8)$ (với điều kiện $x \geq -7$).
$\Leftrightarrow x^2+14x+49 = 4x^2+32$
$\Leftrightarrow 3x^2 -14x -17=0$
$\Leftrightarrow (x+1)(3x-17)=0 \Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=\frac{17}{3}$ (đều thoả mãn $x \geq -7$)
Với $x=-1 \Rightarrow y = x = -1$.
Với $x=\frac{17}{3} \Rightarrow y = x =\frac{17}{3}$.
Vậy: Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm $(x, y) = (-1, -1)$ và $(x, y)=\left(\frac{17}{3}, \frac{17}{3} \right)$.
__________________________________
Điểm bài làm: $d=8$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-2}{2}\right\rfloor+3\times 8+0+0=49$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 20-12-2012 - 13:50
Chấm điểm!

Đổi mới là điều tạo ra sự khác biệt giữa người lãnh đạo và kẻ phục tùng.


STEVE JOBS


#7
Dung Dang Do

Dung Dang Do

    Dũng Dang Dở

  • Thành viên
  • 524 Bài viết
Bài làm của em
Từ đề ra ta có
$$x-2\sqrt{y^2+8}=y-2\sqrt{x^2+8}$$
Chuyển vế sang ta có
$$x+2\sqrt{x^2+8}=y-2\sqrt{y^2+8}$$
(Sai dấu!)
Suy ra $f(x)=f(y)$ suy ra $x=y$
(Thiếu căn cứ!)
Thay vào ta có
$x-2\sqrt{x^2+8}+7=0$
$\iff x+7=2\sqrt{x^2+8}$
Tới đây ta bình phương lên sẽ có
(Chưa đặt điều kiện...)
$x^2+14x+49=4x^2+32$
$\iff 3x^2-14x+17$
$\iff (x+1)(3x-17)=0$
Suy ra $x=1$ hoặc $x=\frac{17}{3}$
(... nên ở đây cần phải thử lại)
Vì $x=y$ nên hệ phương trình có nghiệm là
$$\boxed{(x;y)=(-1;-1),(\frac{17}{3};\frac{17}{3})}$$
_______________________________________
Bài làm vắn tắt, lập luận thiếu căn cứ, thiếu điều kiện trước khi bình phương nên kết quả chỉ là hệ quả chứ không phải là tương đương, cần phải thử lại!
Điểm bài làm: $d=5$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-2}{2}\right\rfloor+3\times 5+0+0=40$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 20-12-2012 - 13:56
Chấm điểm

@@@@@@@@@@@@

#8
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
Bài làm (cách khác )

----------Bổ đề :
Nếu hàm số $f(x)$ luôn đồng biến trên $R$ thì:
$f(x)=f(y) \Rightarrow x=y$, $\forall x$, $y \in R$.

-----Chứng minh
Với f(x) =f(y)
Nếu $x > y$, $f(x)$ đồng biến trên $R$ nên $f(x) > f(y)$.
Nếu $x < y$,$\Rightarrow$ $f(x) < f(y)$.
$\Rightarrow$ Loại $\Rightarrow$ $x=y$.
----------Quay trở lại bài toán :
$HPT \Leftrightarrow$
$\begin{cases}x-2\sqrt{y^2+8}=-7 (1) \\ y-2\sqrt{x^2+8}=-7 (2) \end{cases}$
Trừ 2 vế ta có :
$x – 2\sqrt{y^2+8} – y + 2\sqrt{x^2+8}=0$
$\Leftrightarrow x + 2\sqrt{x^2+8} = y + 2\sqrt{y^2+8}$.
Xét hàm số $f(x) = x+2\sqrt{x^2+8}$, lấy hai giá trị bất kì $x_1$, $x_2 \in R$ và $x_1 > x_2$, ta có:
$f(x_1) – f(x_2) = x _1 +2\sqrt{x_1^2+8} – x_2 – 2\sqrt{x_2^2+8} = (x_1 – x_2) +2(\sqrt{x_1^2+8}-\sqrt{x_2^2+8} >0$
(Chỗ này chứng minh chưa chặt - tham khảo thêm đáp án)
$\Rightarrow f(x)=x+2\sqrt{x^2+8}$ đồng biến trên $R$
Áp dụng bổ đề 1 $\Rightarrow f(x)=f(y)$ nên $x=y$.
Thay Vào $(1) \Rightarrow PT \Leftrightarrow$
$x – 2\sqrt{x^2+8} = -7$
$\Leftrightarrow x + 7 = 2\sqrt{x^2+8} \Rightarrow (x+7)^2 = 4(x^2+8)$ (với điều kiện $x \geq -7$).
$\Leftrightarrow x^2+14x+49 = 4x^2+32$
$\Leftrightarrow 3x^2 -14x -17=0$
$\Leftrightarrow (x+1)(3x-17)=0
\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=\frac{17}{3}$ (đều thoả mãn $x \geq -7$)
$\Rightarrow (x, y) = (-1, -1)$ và $(x, y)=\left(\frac{17}{3}, \frac{17}{3} \right)$.
--------------------------
Bài trước của em , em viết nhầm $x^2 +y =b$ mà thực ra là $x^2 +8 =b$
và $\sqrt{b-8} +\sqrt{a-8} +\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ mà thực ra là $\frac{1}{\sqrt{b-8} +\sqrt{a-8}} +\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

-- Em rất xin lỗi :D
__________________________________
Điểm thưởng: $d_t=8$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 20-12-2012 - 13:59
Chấm điểm!


#9
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
Cho phép em xin nộp lại bài ạ :)

Ta có bổ đề sau:
Nếu hàm số $f(x)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì:
$f(x)=f(y) \Rightarrow x=y$, $\forall x$, $y \in \mathbb{R}$.
Chứng minh:
Với $f(x) =f(y)$
Nếu $x > y$, $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $f(x) > f(y)$.
Nếu $x < y$,$\Rightarrow$ $f(x) < f(y)$, loại.
$\Rightarrow$ $x=y$ (đpcm)
Quay trở lại bài toán, hệ phương trình đã cho tương đương
$\begin{cases}x-2\sqrt{y^2+8}=-7 (1) \\ y-2\sqrt{x^2+8}=-7 (2) \end{cases}$
Lấy $(1) - (2)$, ta có:
$x – 2\sqrt{y^2+8} – y + 2\sqrt{x^2+8}=0$
$\Leftrightarrow x + 2\sqrt{x^2+8} = y + 2\sqrt{y^2+8}$.
Xét hàm số $f(x) = x+2\sqrt{x^2+8}$, lấy hai giá trị $x_1$, $x_2 \in \mathbb{R}$ sao cho $x_1 > x_2$, ta có:
$f(x_1) – f(x_2) = x _1 +2\sqrt{x_1^2+8} – x_2 – 2\sqrt{x_2^2+8} = (x_1 – x_2) +2(\sqrt{x_1^2+8}-\sqrt{x_2^2+8}) >0$
(Chứng minh này chưa chặt - Tham khảo đáp án)
Nên hàm số $f(x)=x+2\sqrt{x^2+8}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, chứng minh tương tự ta cũng có hàm số $f(y) = y + 2\sqrt{y^2+8}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Áp dụng bổ đề đã chứng minh ở trên, ta có $f(x)=f(y)$ nên $x=y$.
Thay $x=y$ vào $(1)$, ta có:
$x – 2\sqrt{x^2+8}+ 7$
$\Leftrightarrow (x+7)^2 = 4(x^2+8)$ ($x \geq 7$)
$\Leftrightarrow x^2+14x+49 = 4x^2+32$
$\Leftrightarrow 3x^2 -14x -17=0$
$\Leftrightarrow (x+1)(3x-17)=0$
$\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=\frac{17}{3}$, 2 giá trị đều thoả mãn.
$\Rightarrow (x, y) = (-1, -1) ; (\frac{17}{3}; \frac{17}{3})$
___________________________________
Điểm bài làm $d=8$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-2}{2}\right\rfloor+3\times 8+0+10=59$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 20-12-2012 - 14:11
Chấm điểm!


#10
NGUYEN MINH HIEU TKVN

NGUYEN MINH HIEU TKVN

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết

Đề bài trận 15:(Đề của BTC)

Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}x-2\sqrt{y^2+8}+7=0\\ y-2\sqrt{x^2+8}+7=0\end{cases}$$

=======================================
+ Xét $x> y$.
Khi đó $x^{2}+8> y^{2}+8$
$\Rightarrow \sqrt{x^{2}+8}> \sqrt{y^{2}+8}$
mà $x> y$ ( giả thiết)
do đó $x-\sqrt{y^{2}+8}+7 > y-\sqrt{x^{2}+8}+7$ ( vô lý)
+ xét $x< y$
$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+8}< \sqrt{y^{2}+8}$
(Chỗ này là nhầm lẫn đáng trách; nếu $x=-3$ và $y=1$ thì sao?)
mà $x< y$
$\Rightarrow x-\sqrt{y^{2}+8}+7< y-\sqrt{x^{2}+8}+7$ ( vô lý)
$\Rightarrow x=y$
$\Rightarrow x-2\sqrt{x^{2}+8}+7 =0$
$\Leftrightarrow x+7 =2\sqrt{x^{2}+8}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+7>0 & \\ x^{2}+14x+49=4x^{2}+32& \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -7 & \\ 3x^{2}-14x-17=0& \end{matrix}\right.$
===
Giải phương trình bậc 2 của hệ ta được $x=\frac{17}{3}$ và $x=-1$( thoả mãn)
Vậy nghiệm hệ phương trình là $x=y=-1$ hoặc $x=y=\frac{17}{3}$
_________________________________
Tham khảo thêm đáp án!
Điểm bài làm: $d=8$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-21}{2}\right\rfloor+3\times 8+0+0=39$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 20-12-2012 - 14:16
Chấm điểm!


#11
hoanga1k36

hoanga1k36

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đề bài trận 15:(Đề của BTC)

Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}x-2\sqrt{y^2+8}+7=0\\ y-2\sqrt{x^2+8}+7=0\end{cases}$$

_________________
BTC xin lỗi tất cả các toán thủ vì sự cố đề (do vượt cấp học), BTC đã thay lại đề như trên

Thời gian làm bài tính từ 21h ngày 14/12/2012

Trừ vế theo vế của 2 phương trình trên ta được:
$x+2\sqrt{x^{2}+8}=y+2\sqrt{y^{2}+8}$ (1)
Xét hàm số f(t)=t3+t.
f'(t)=3t2+1$>$ 0
$\Rightarrow$ f(t) đồng biến trên \mathbb{R}$
Khi Đó (1)$\Leftrightarrow$ x=y
Thay vào 1 trong 2 phương trình trên ta được:
$x+7=2\sqrt{x^{2}+8}\Leftrightarrow$
________________
Điểm bài làm: $d=1$
$S=3$ (do không làm được bài nên không có điểm thời gian)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 20-12-2012 - 14:18
Chấm điểm!


#12
duaconcuachua98

duaconcuachua98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết

Đề bài trận 15:(Đề của BTC)

Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}x-2\sqrt{y^2+8}+7=0\\ y-2\sqrt{x^2+8}+7=0\end{cases}$$


Ta có hệ đã cho tương đương với:
$\left\{\begin{matrix} x +7=2\sqrt{y^{2}+8} \\ y +7=2\sqrt{x^{2}+8} \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2} +14x+49 =4y^{2}+32 \\ y^{2} +14y+49 =4x^{2}+32 \end{matrix}\right.$
(Thiếu điều kiện...)
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5(x^{2}-y^{2}) +14(x-y) =0 \\ y^{2}+14y+17=4x^{2} & & \end{matrix}\right.$ $(\ast )$
$\Leftrightarrow x=y$ hoặc $x=\frac{-14}{5}-y$
+) Với x=y thay vào $(\ast )$ ta được
$3y^{2}-14y-17=0\Leftrightarrow y=x=-1;y=x=\frac{17}{3}$
+) Với $x=\frac{-14}{5}-y$ thay vào $(\ast )$ ta được
$3y^{2}+\frac{42}{5}y+\frac{359}{25}=0\Leftrightarrow y^{2}+\frac{14}{5}y+\frac{359}{75}=0$
$\Leftrightarrow \left ( y+\frac{7}{5} \right )^{2}+\frac{212}{75}=0$ (vô nghiệm)
Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) là $\left ( -1;-1 \right );\left ( \frac{17}{3};\frac{17}{3} \right )$
(...do đó phải thử lại!)
__________________
Cách làm hợp lý, chú ý để dùng dấu $\Leftrightarrow$ thì phải kèm theo điều kiện, nếu không thì phải thử lại kết quả
Điểm bài làm: $d=9$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-25}{2}\right\rfloor+3\times 9+0+0=40$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 20-12-2012 - 14:23
Chấm điểm!


#13
caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết

Đề bài trận 15:(Đề của BTC)

Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}x-2\sqrt{y^2+8}+7=0 (1)\\ y-2\sqrt{x^2+8}+7=0(2)\end{cases}$$

_________________
BTC xin lỗi tất cả các toán thủ vì sự cố đề (do vượt cấp học), BTC đã thay lại đề như trên

Thời gian làm bài tính từ 21h ngày 14/12/2012

đk : $x;y \in R$
Ta xét ba trương hợp:Trường hợp 1: $x>y$
từ (1) ta có:
$0= x^{2}-2\sqrt{y^{2}+8}+7> y^{2}-2\sqrt{x^{2}+8}+7=0$
=> vô lý.
Tương tự với $x<y$.
Trường hợp $x=y$ , ta có :
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}-x\sqrt{x^{2}+7} =0(*)& \\
x=y &
\end{matrix}\right.$
Giờ ta giải (*) để tìm nghiệm
$(\sqrt{x^{2}+8}-1)=\sqrt{2}<=> \left\{\begin{matrix}
\sqrt{x^{2}+8}= \sqrt{2}+1 & \\
\sqrt{x^{2}+8}= -\sqrt{2}+1( SAI ;VP <0) &
\end{matrix}\right.
\Rightarrow x^{2}= 2\sqrt{2}-5$ loại vì VP <0
Hệ đã cho vô nghiệm
---------------------
Không chắc chắn cho lắm :(
____________________________________
Làm sai đề
$S=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 20-12-2012 - 14:24
Chấm điểm!

KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#14
mathnam

mathnam

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết
Biến đổi tương đương hệ trên,ta được:
$\left\{\begin{matrix} x+7=2\sqrt{y^{2}+8} (1)& & \\ y+7=2\sqrt{x^{2}+8}& & \end{matrix}\right.$
$(1)\Leftrightarrow x^{2}+14x+17=4y^{2}$
(Thiếu điều kiện trước khi bình phương)
TT,ta được:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+14x+17=4y^{2}\\ y^{2}+14y+17=4x^{2} \end{matrix}\right. \Rightarrow x^{2}-y^{2}+14(x-y)=4(y^{2}-x^{2}) \Leftrightarrow (x-y)(x+y+14)=-4(x-y)(x+y)$
TH1: x=y
$(1)\Leftrightarrow 3x^{2}-14x-17=0$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} x=y=-1\\ x=y=\frac{17}{3} \end{bmatrix}$
TH2: $x\neq y$
=>5(x+y)=-14
$\Leftrightarrow 5x=-14-5y$
thay vào (1) ta thấy pt vô no hay hpt vô no
(Yêu cầu trình bày rõ)
vậy: (x,y)=(-1;-1);$(\frac{17}{3};\frac{17}{3})$

Phải thử lại nghiệm do chưa đặt điều kiện!
_____________________
Điểm bài làm: $d=7$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-46}{2}\right\rfloor+3\times 7+0+0=24$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 20-12-2012 - 14:39
Chấm điểm!

HỌC! HỌC NỮA! HỌC MÃI!$\sum$

#15
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
Mở rộng 1 của MSS01- BlackSelena
Đưa HPT về dạng tổng quát

$\begin{cases}ax-b\sqrt{y^2+c}+d=0\\ ay-b\sqrt{x^2+c}+d=0\end{cases}$ với $a,b>0$ và $a^2b^2c - b^4c + b^2d^2 > 0$
Ta dễ có $f(x) = ax + b\sqrt{x^2+c} = f(y) = ay + b\sqrt{y^2+c}$ nên theo bổ đề đã chứng minh thì ta chỉ cần chỉ ra $f(x)$ và $f(y)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Chọn 2 giá trị $x_1 > x_2$, xét hiệu $f(x_1) - f(x_2) = a(x_1 - x_2) + b(\sqrt{x_1^2 +c} - \sqrt{x_2^2 +c}) > 0$ với $a,b >0$. Vậy $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Chứng minh tương tự ta cũng có $f(y)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Vậy theo bổ đề đã chứng minh ở bài làm thì ta có $x=y$
Vậy thay $x=y$ vào pt đầu, ta có:
$ax + d = b\sqrt{x^2+c}$
$\Leftrightarrow (ax)^2 + d^2 + 2axd = (bx)^2 + b^2c $
$\Leftrightarrow x^2(a^2-b^2) + 2axd + d^2 - b^2c = 0$
$\Delta' = (ad)^2 - (a^2-b^2)(d^2-b^2c) = a^2b^2c - b^4c + b^2d^2 >0$
Vậy pt có nghiệm $x = \frac{-ad \pm \sqrt{ a^2b^2c - b^4c + b^2d^2}}{a^2-b^2}$, $y$ cũng tương tự.
________________________
Điểm mở rộng $d_{mr}=10$
Thực ra mở rộng của em là đúng nhưng cách chứng minh của em là chưa chuẩn! Do chưa có quy chế về chấm điểm của mở rộng (chỉ nói là 10 điểm cho một mở rộng đúng!) nên em mới được điểm như vậy!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 20-12-2012 - 14:43
Chấm điểm


#16
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Trận đấu đã kết thúc! Mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau!

#17
caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết
Thôi tiêu rồi, sai đề , nhìn pt sai :ukliam2: :ukliam2:


x^{2}-x\sqrt{x^{2}+7} =0(*)& \\
x=y &
\end{matrix}\right.$
Giờ ta giải (*) để tìm nghiệm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 17-12-2012 - 17:48

KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#18
tkvn97

tkvn97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 381 Bài viết

Bài làm của MSS01-BlackSelena:

$$\begin{cases}x-2\sqrt{y^2+8}+7=0 (1)\\ y-2\sqrt{x^2+8}+7=0(2)\end{cases}$$
Lấy $(1) - (2)$, ta có:
$x-y = 2(\sqrt{y^2+8} + \sqrt{x^2+8})$
$\Leftrightarrow x-y = 2\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+8} + \sqrt{y^2+8}}$
$\Leftrightarrow (x-y)(1-\frac{x+y}{\sqrt{x^2+8} + \sqrt{y^2+8}}) = 0$
$\Leftrightarrow x=y$, bởi hiển nhiên $ \sqrt{x^2 + 8} + \sqrt{y^2 + 8} > |y| + |x| \ge x+y$
Thay $x=y$ vào $(1)$, ta có:
$y + 7 = 2\sqrt{y^2+8}$
$\Leftrightarrow 3y^2 +14y - 17 = 0$
$\Leftrightarrow (y+1)(y-\frac{17}{3}) = 0$
$\Leftrightarrow y \in \begin{Bmatrix}-1, \frac{17}{3}\end{Bmatrix}$
$\Rightarrow x \in \begin{Bmatrix}-1, \frac{17}{3}\end{Bmatrix}$
Vậy hpt có nghiệm $(x;y) = (-1;-1) ; (\frac{17}{3}; \frac{17}{3})$



Em Quang nhầm dấu rồi kìa .
P/s: Các mem làm theo cách khảo sát hàm chưa chặt rồi .

- tkvn 97-


#19
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết

Đề bài trận 15:(Đề của BTC)

Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}x-2\sqrt{y^2+8}+7=0\\ y-2\sqrt{x^2+8}+7=0\end{cases}$$

ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC
Hệ phương trình đã cho tương đương với
$\begin{cases}x+7=\sqrt{4y^2+32}\quad(1)\\y+7=\sqrt{4x^2+32}\quad(2)\end{cases}$
Điều kiện: $\begin{cases} x \ge -7\\y \ge -7\end{cases}$
Trừ vế theo vế $(1)$ cho $(2)$, ta được
$x-y=\sqrt{4y^2+32}-\sqrt{4x^2+32}\Leftrightarrow x-y+\dfrac{4(x-y)(x+y)}{\sqrt{4x^2+32}+\sqrt{4y^2+32}}=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{align*}&x=y\\&1+\dfrac{4(x+y)}{\sqrt{4x^2+32}+\sqrt{4y^2+32}}=0\end{align*}\right.$ $\Leftrightarrow \left[\begin{align*}&x=y\\ &-\sqrt{4x^2+32}-\sqrt{4y^2+32}=4(x+y)\end{align*}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{align*}&x=y\\ &y-\sqrt{4x^2+32}+x-\sqrt{4y^2+32}=5(x+y)\end{align*}\right.$

$\bullet\quad$ Xét trường hợp $y-\sqrt{4x^2+32}+x-\sqrt{4y^2+32}=5(x+y)$
Theo $(1)$ và $(2)$, ta suy ra: $5(x+y)=-14$ hay $y=-\dfrac{14}{5}-x$
Thay vào $(1)$ ta có: $x+7=2\sqrt{x^2+\frac{28}{5}x+\frac{396}{25}}$
$\Rightarrow (x^2+14x+49)=4(x^2+\frac{28}{5}x+\frac{396}{25})\Leftrightarrow 3x^2+\dfrac{42}{5}x+\dfrac{359}{25}=0\Leftrightarrow 3\left(x+\frac{7}{5}\right)^2+\dfrac{212}{25}=0\quad$ (vô nghiệm)

$\bullet\quad$ Xét trường hợp $x=y$
Thay vào phương trình $(1)$, ta có:
$x+7=\sqrt{4x^2+32}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ge -7\\(x+7)^2=4x^2+32\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ge -7\\3x^2-14x-17=0\end{cases}\Leftrightarrow \left[\begin{align*}x&=-1\\ x&=\dfrac{17}{3}\end{align*}\right.$

Vậy hệ đã cho có các nghiệm là $(x,y)\in\left\{(-1,-1);\;\left(\dfrac{17}{3},\dfrac{17}{3}\right)\right\}$
_____________________________

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 26-12-2012 - 09:01


#20
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Việc chấm điểm đã xong!
Trận này các toán thủ mắc một lỗi giống nhau đến ngạc nhiên là công nhận việc $x>y$ thì $\sqrt{x^2+8}>\sqrt{y^2+8}$ mà quên mất rằng $x,y$ có thể âm!
Một số bạn thiếu điều kiện trước khi bình phương có căn thức.
_________________________
Sau trận này BTC sẽ phải update thêm việc chấm điểm mở rộng!




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh