Chủ đề này có 2 trả lời

[yellow]

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$A=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}$$
Với $x, y, z > 0$ và $xyz=1$

[duaconcuachua98]

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$A=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}$$
Với $x, y, z > 0$ và $xyz=1$

Bạn áp dụng BĐT $x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)\Rightarrow x^{3}+y^{3}+1\geq xy(x+y)+xyz=xy(x+y+z)$!
_____________________________

[banhgaongonngon]

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$A=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}$$
Với $x, y, z > 0$ và $xyz=1$

Bài toán. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh $\sum \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leqslant \frac{1}{abc}$.

Giải. Ta có $a^{2}+b^{2}-ab\geqslant ab\Rightarrow a^{3}+b^{3}\geqslant ab(a+b)$
Áp dụng: $\frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leqslant \frac{1}{ab(a+b)+abc}=\frac{1}{ab(a+b+c)}$
Lập các bất đẳng thức tương tự ta có đpcm.

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Cho $abc=1$ ta có bất đẳng thức của bạn